一种三次插值曲面的光滑拼接

师 晶

（闽南理工学院 信息管理学院，福建 石狮 362700）

作为计算机辅助几何设计（CAGD）的重要内容，曲面造型不仅在理论上具有很高的研究价值， 而且在航空航天、工程设计、动画制作及计算机图形设计等领域有着广泛的应用。随着科学技术的发展，传统的曲面造型方法已无法满足曲面复杂化和多样化的需要［1］。 因此，曲面拼接技术应运而生，其理论思想和构造方法几乎渗透了所有的学科。

在计算机辅助几何设计（CAGD）中，用B 样条或T 样条构造曲面因拟合效果好、 程序便于编写而成为曲面造型的重要方法。但是，当B 样条曲面的控制顶点发生变化时， 整个曲面形状容易发生扭曲和变形，且随着阶数升高，构造曲面时的计算过程越来越复杂，曲面形状的可调性越来越差［2-3］。 另外，在对多变等参矩形域进行几何裁剪时， 若采用T 样条构造曲面，则会产生一些难以处理的奇点，且细分后不能保持仿射不变性［4-5］，这些都不利于曲面造型［6-7］。 为了解决复杂曲面的拼接问题， 笔者研究了一种带形状参数的三次插值曲面的连续性问题， 利用三次插值曲线的几何性质和保凸性质， 得到了曲线间的C1和C2连续定理和曲面间的G1拼接定理，给出了曲面的拼接方法及步骤， 通过曲面造型算例验证了方法的有效性。

1 基础知识

2 曲线的性质

图1 λ =2，µ 改 变时的曲线H(λ , µ)

图2 µ = 0.2，λ改 变时的曲线H(λ , µ)

3 曲线拼接

图3 () 为拐点时 H(λ , µ) 的连续性

图4 ( )为非拐点时 H(λ , µ)满足保凸性的连续性

4 曲面的性质

图5 3×3 个控制顶点的三次插值曲面

5 曲面拼接

设带有2 个形状参数的2 个三次插值曲面方程为

图6 2 个相邻三次插值曲面拼接网格

证明：与定理4、定理5 的证明过程类似，证明过程省略。

6 算法描述

步骤3：如果待拼接曲面片的个数大于2，转步骤2，直到生成所有的待拼接曲面片，再执行步骤4。否则，直接执行步骤4。

步骤4：通过修改各拼接曲面片的形状参数λk＞ 1,µk＞ 1(k=1,2)和法矢量模比例因子f调节拼接曲面的形状，获得满意的图形。

7 计算实例

在CAGD 中， 一张较复杂的曲面需要多个光滑曲面拼接。 利用三次插值曲面的拼接定理和插值算法，可以很方便地构造一些较复杂的曲面。为了说明插值算法的可行性和灵活性， 给出2 个曲面造型的算例。

7.1 算例一

由台灯曲面的构造可知， 台灯曲面需要多个曲面片拼接而成。

生成台灯灯罩曲面时， 先根据插值算法的步骤1 至步骤3 生成3 张待拼接曲面片。 由于这3 张待拼接曲面片在拼接处具有相同的切平面， 故不需生成过渡曲面。 再根据步骤4，通过修改各曲面片不同的形状参数值及法矢量模比例因子f，调节组合曲面的形状，获得满意的灯罩曲面图形。

重复以上曲面的拼接步骤， 可分别实现多张灯柱、 灯座曲面片的拼接， G1得到如图7 所示的台灯曲面造型。

图7 台灯的曲面造型

7.2 算例二

由蘑菇板凳曲面的构造可知， 蘑菇板凳曲面需要多个曲面片拼接而成。

生成蘑菇板凳曲面时， 可先根据插值算法的步骤1 至步骤3，生成8 张待拼接曲面片。 这8 张待拼接曲面片在拼接处具有相同的切平面， 故不需生成过渡曲面。 再根据步骤4，通过修改各曲面片不同的形状参数值及法矢量模比例因子f调节组合曲面的形状，获得如图8 所示的蘑菇板凳曲面造型。

图8 蘑菇板凳的曲面造型

8 结束语

通过研究一种三次插值曲线的参数连续性，得到了这种曲线间的 C1和 C2连续条件。利用曲线的连续性得到了三次插值曲面的边界性质、凸包性、几何不变性等性质，给出了曲面间 C1的拼接定理及插值算法。通过算例说明了算法的可行性和灵活性，增强了三次插值曲线的曲面造型能力。