一类具有常数移民特征的时滞SEI 传染病模型的周期解

刘 娟，潘玉荣，张子振

（1.蚌埠学院 数理学院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽财经大学 管理科学与工程学院，安徽 蚌埠 233030）

在新冠疫情持续蔓延的背景下， 关于传染病的研究已受到世界各国的重视， 医学科学的最新研究成果已帮助人们更好地控制了疫情的传播。

在研究生物数学过程中， 人们常常利用数学模型研究一些生物现象， 利用动力学思想研究传染病的传播规律， 数学模型已成为分析疾病传播的有效工具［1-2］。

最近， 一些学者利用数学模型分析了传染病的传播状况， 从数学的角度提出控制传染病传播的建议。 朱晶［3］研究了基于Logistic 增长和心理作用的SIR 传染病模型，讨论了模型解的渐近行为。 在SIR传染病模型中， 要求恢复者对疾病具有永久的免疫力，这显然不符合实际情况，原因是感染者康复后仍有可能再次被感染。 王俊荣等［4］、李小妮等［5］和李文轩等［6］提出了更符合实际的SIRS 传染病模型。 考虑到传染病具有潜伏期，一些学者在SIR 和SIRS 传染病模型的基础上，通过引入潜伏者状态研究了SEIR传 染 病 模 型［7-8］和SEIRS 传 染 病 模 型［9-10］。 但 以 上 研究涉及的传染病模型均忽略了潜伏者和感染者的移民特征。 例如，艾滋病和新冠肺炎都具有移民特征，尽管各国对出入境人员采取了疫情防控措施， 但仍有少量感染者会进入这些国家。 为此，Khan 等［11］提出并研究了易感者、 潜伏者和感染者均具有常数移民特征的SEI 传染病模型

1 Hopf 分岔的存在性

2 分岔周期解的性质

3 数值仿真

选取参考文献［11］中的参数BS= 0.6,BE=0.1,BI= 0.3,µ= 0.026,γ= 0.1,β=0.001,可得模型（2）的特例

图1 τ=16.586 8时模型（30）的局部渐近稳定性

当τ＞τ0= 18.509 7时，模型（30）在P*(12.186 7,3.040 8,23.234 0)是非局部渐近稳定的，且产生Hopf分岔。 仿真效果如图2 所示。 通过计算可得λ′(τ0) = 0.004 39 − 0.000 26i,C1(0)= − 0.000 69+0.029 46i。根 据式（29）可以得到µ2= 0.157 17 ＞0,β2=−0 .001 38＜ 0,T2=− 0.00176 ＜0。因此由定理2可知，模型（30）在τ0=18.509 7处产生的Hopf 分岔是超临界的，分岔周期解是稳定递减的。

图2 τ =21.495 3时模型（30）的非稳定性

4 结论

在本文中，我们研究了一类易感者、潜伏者和感染者都具有移民特征的时滞SEI 传染病模型， 将疾病的潜伏期时滞作为分岔参数， 导出了模型局部渐近稳定和产生Hopf 分岔的充分条件，还研究了分岔周期解的方向、稳定性及周期大小，通过仿真示例验证了所得结果的正确性。

本文的研究结果表明， 当疾病的潜伏期时滞较小（低于临界值τ0）时，模型处于理想的稳定状态，这有利于疾病传播的控制。 当潜伏期时滞超过临界值τ0，模型将处于非稳定状态，并产生Hopf 分岔，模型中的易感者、潜伏者和感染者将进入周期震荡状态，这不利于疾病传播的控制。