基于学习路径分析的“小数的意义”单元整体教学

尚飞　章勤琼

【摘   要】小数延续了整数的计数规则，是十进制的反向延伸。从知识习得过程来看，整数、分数、小数本质上是一个整体；从数的组成角度而言，它们都是基于“计数单位”建构的。因此，要从整体视角来关联整数、小数、分数，这是小数的数位意义。另外，整数表示整体，之前学生学习过分数整体部分意义，小数是十进分数的另一种表现形式。引导学生加强对部分整体意义的理解，凸显小数的单位量，并迁移到非十进率情境表征小数的意义，可以帮助他们更好地理解小数的意义。

【关键词】小数的意义；十进制；一致性；学习路径

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）指出，数学课程内容的一大特点就是整体性。教材编写与教学设计应当突出核心内容，呈现不同数学知识之间的实质性关联。从知识习得过程来看，整数、分数、小数本质上是一个整体；从数的组成角度而言，它们都是基于“计数单位”建构的。数的发展过程就是计数单位的发展过程。整数和小数的计数单位是十、个、十分之一等，分数的计数单位就是分数单位。建构整数、分数与小数的关键是计数单位。［1］ 但从当前的教材和教学来看，关于数的认识，整数、分数、小数都各有其不同的习得方法，这些知识和方法之间内在的整体性、一致性不足。

“小数的意义”在《2022年版课标》中被安排在第二、三学段进行教学。第二学段结合具体情境初步认识小数；第三学段结合具体情境探索并理解小数的意义，感悟計数单位。“小数的初步认识”安排在“小数的意义”之前，那学生要认识到什么程度？理解到什么程度？两者之间有什么界限？在“小数的意义”教学前认识了整数、分数，认识数的关键是理解数的建构方法，那么如何体现所有数都是基于计数单位来建构的？另外，对“小数的初步认识”和“分数的初步认识”的学习，会给“小数的意义”的学习带来“助力”还是“阻碍”？综观各版本教材理解小数的意义，基本上有两条路径：一是把“1”平均分成10份，每份是1/10，也可以说是0.1；把“1”平均分成100份，每份是1/100，也可以说是0.01；把“1”平均分成1000份，每份是1/1000，也可以说是0.001。如果只形成这样的认识经验，学生在十进分数的改写中会遇到困难。二是以分数的意义来认识小数，然而，分数本身有多种不同意义，在小数的再认识之前，学生对分数的认识是“部分与整体”关系的意义。此时学生理解的分数，是一种关系，并不是作为一个“数”。因此，学生并没有认识基础，从“数”的意义把分数与小数关联，很难真正以计数单位来认识小数的意义。从单元整体教学的角度来看小数的意义这一内容的教学，怎样能让学生更好地理解小数的意义？下面基于学习路径的分析，对这一单元如何进行整体教学展开思考。

一、理解单元学习目标

（一）单元内容概述

人教版教材将“小数的意义”作为独立单元进行设置。北师大版教材没有独立的“小数的意义”单元，将其设置在四年级下册第一单元“小数的意义和加减法”中。这两个版本的教材分别将教学目标定位如下。

人教版：使学生理解小数的意义，认识小数的计数单位，会读、写小数，会比较小数的大小；使学生掌握小数的性质和小数点移动引起小数大小变化的规律；使学生会进行小数和十进复名数的相互改写；使学生能够根据要求会用“四舍五入法”保留一定的小数位数，求出小数的近似数，并能把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。

北师大版：进一步认识小数的意义，会进行十进分数与小数的互化；会用小数表示常见的量，能把较小的单位转化为较大的单位；理解和掌握小数的数位顺序表，认识小数各个数位的计数单位及进率关系；理解并掌握小数的性质；能比较小数的大小。

通过对比得出，本单元的学习内容主要有三个：理解小数的意义，认识小数的计数单位；掌握小数的性质并会比较小数的大小；知道小数点位置的移动引起小数大小变化的规律并会进行名数的改写。

（二）单元核心目标

“小数的意义”的教学重点是位值记数和“十分”“十进”［2］，这是学生理解小数的核心内容。小数是通过十进分数来定义的，可以看成十进分数的另一种形式。另外，十进制的位值原则是小数产生的根本性质，这也是整数与小数能得以沟通的原因。［3］教学中需要做好十进制从自然数向小数的过渡，即建立小数与“十分”“十进”的联系。对“十分”“十进”的理解也就是对小数的意义的理解，有助于学生掌握小数的性质、大小比较以及小数点移动引起小数大小的变化等内容。

小数是基于十进位值制建构的，认识小数的关键是认识基于十进制的小数计数单位。如果把整数、小数的计数单位有序排列在一起，如“102，101，100，10-1，10-2”，我们会发现：小数的计数单位是整数计数单位的自然延伸。认识计数单位，又可以关联“小数的意义”整个教学内容，比如：了解小数的性质，0.3=0.30，因为恒等计数单位变了，计数单位的个数也变了；小数比大小，就是比较计数单位的个数，可以和整数比大小建立联系；小数点位置移动引起小数大小变化，从0.25到2.5，计数单位变了，但计数单位的个数没有变；等等。所以把理解小数的意义和认识小数的计数单位定为本单元的核心目标。

（三）核心目标具体化

1.小数的意义

小数的意义在学生理解小数知识中具有核心作用。对小数的意义的理解程度直接影响学生小数知识的掌握程度。从小数的意义层面讲，小数意义可以分为数位意义和整体部分意义两个维度。具体内涵如下。

数位意义就是理解小数的构数系统，在学习“小数的初步认识”时，学生已经知道只有将“1”平均分成10份才能产生小数，其中的几份就是零点几。在这个基础上，学生需要知道“1”可以继续细分产生更小的数，每一个小数的计数单位都可以继续“十分”得到更小的计数单位。

整体部分意义就是理解小数是十进分数的另一种形式，即理解小数的具体内涵，通过小数反映部分与整体的关系，包括小数与整体部分意义的联结，小数在不同情境下内涵的反映。

2.认识小数的计数单位

认识小数计数单位的内涵，包括：（1）知道“1”继续细分可以产生新的计数单位，能使小数大小比较和整数大小比较建立联系，它们比的都是相同计数单位的个数。（2）知道“小数点移动引起小数大小变化”的根本原因是计数单位变了，这个变化的规律，是由于有十进制，还有计数单位的意义。（3）知道单位换算的本质就是等量代换，即大小不变——“计数单位变了，计数单位的个数也发了变化”。

二、确定学习起点

小学阶段学生接触的数有整数、分数、小数，其中小数的学习是整个数系统的重要组成部分。理解小数的意义需要从整个数系统去思考，要像理解整数一样，去理解小数的计数单位以及构数系统。刘加霞教授将学生对基本知识的理解水平进行了如下划分：（1）事实性水平——只知道所学内容是什么；（2）概念性水平——能解释为什么；（3）方法性水平——能沟通知识之间的本质联系与区别，形成概括性认识；（4）主体性水平——能灵活运用，创造性地解决问题。

依据四个水平，对认识小数的水平进行了描述，并对学生进行了前测。有超过80%的学生处于事实性水平与概念性水平，能达到方法性水平与主体性水平的很少。学生具体的表现水平如表1。

基于上述测评和统计分析，可以確定学生的学习起点和理解难点（如表2）。

因此，知道小数的本质是“十分”，是学生理解小数意义的认知起点；用多种表征描述小数和把小数应用到像时间这样的非十进率的情境中，是学生的认知难点。

三、分析学习路径

基于对小数的两种意义，以及学生学习起点和理解难点的分析，对于“小数的意义”的学习，可以确定如下学习路径。

首先，认识小数的数位意义并进行表征。第一，结合面积模型、立体模型等不同模型理解小数“十分”本质。第二，在构造数的规则上，小数和整数都是由各个数位的位值相加构成，这与整数的构数保持一致。第三，根据列出的数轴、面积、群组、货币以及抽象的数位位值情境下的小数示例，能互相联结在每一种情境中说出各个数位的计数单位，会用不同表征方式表示同一个小数。表征小数是理解小数的重要活动，通过多样化的表征，促使学生以不同思维方式进行转化思考，最终抽象出它们的共同属性，回归到数位位值意义。在这个不断转化抽象的过程中，概念就形成了。

其次，能理解小数的整体部分意义。对整体部分意义的理解关键在于凸显小数的单位量。在三年级学习“分数的初步认识”时，学生知道分母就是把单位量平均分成几份，分子表示的是其中的份数，所以学生在学习分数的时候特别强调单位“1”的量。然而在学习小数内容时，弱化了单位量的教学，导致学生对整体部分意义的理解有困难。所以，教师要加强小数与分数的关联，重视小数中单位量的概念，可以提供多元化的情境凸显小数的单位量，让学生理解小数中的单位量其实就是分数中的整体“1”。

因此，可以分为以下三个方面逐步进行理解：第一，在纯小数中凸显单位量，纯小数中没有整数部分的干扰，通过分数与小数的联系，让学生明晰0.3的单位量是1；第二，在连续型和离散型情境中充分体验十等分概念，比如情境可以是线段、月饼等连续型的，也可以是一盒饼干（包含10片、100片）等离散型情境，这样学生不仅知道0.1=1/10，还会关注把单位量分成了10份、100份，其中的1份有可能是单个的，也有可能是多个的，加深对整体部分意义的理解；第三，在多元化情境中感知小数点两边数的大小及大小单位之间的关系，除了长度情境，尽可能提供离散型情境，小数点左边表示的是几个一，小数点右边表示的是不超过“1”的部分，这个不超过“1”的部分还要看单位量来确定每份的数量，有助于理解十等分及整体部分的意义。

四、单元整体教学思考

综上所述，结合单元学习目标和学生的学习起点，我们对教材内容进行了优化调整，把小数的意义分成两个模块来进行教学：一是数位意义。从小数意义的本质“十分”引入，理解数位意义，帮助学生认识从整数到小数，由离散性特点转化为连续性特点，也就形成了小数的稠密性特征。二是整体部分意义。设计多元化情境强化小数与分数的关系。突出整体部分意义的教学，意在让学生形成“小数就是分数的一种特殊表示形式，两者之间是等价的”的认识。每个模块设置2～3课时，共6课时，与整合前教材课时相同。重点是让学生从多元化角度理解小数，建立小数是分数的另一种特殊表示形式的概念。本单元具体教学内容的安排如表3所示。

参考文献：

［1］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］张园，张奠宙，巩子坤，等.小数意义教学的重点在于位值记数与“十分”“十进”：对“小数的意义”教材处理的讨论［J］.小学数学教师，2017（6）：10-13.

［3］章勤琼.3/10米有助于学生理解0.3米吗：如何帮助学生更好地认识小数［J］.教学月刊·小学版（数学），2019（9）：51-54.

（1.内蒙古包头市九原区世纪路第一小学   014060

2.福建师范大学教育学院   350117）