发展几何直观的三个基本途径

■ 苏明强

几何直观是学会用数学的眼光观察现实世界的重要基础，几何直观不仅有助于把握问题的本质、明晰思维的路径，而且有助于形成数学抽象能力，发展数学核心素养。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。几何直观的形成基础在于“意识”，关键在于“习惯”，主要包含以下四个方面：一是能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；二是根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；三是建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；四是利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。下面，我们从“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个知识领域，讨论发展几何直观的三个基本途径。

一、在数与代数知识学习中发展几何直观

数与代数主要包括数与运算、数量关系、代数式、方程、不等式和函数等。数与运算、数量关系和代数式是代数学的重要基础，方程、不等式和函数是代数学的重要内容，小学阶段主要学习数与运算、数量关系两个主题的内容，为后续方程、不等式和函数的学习奠定重要基础。

在小学阶段数与代数知识的学习中，我们可以通过建立“数”与“形”的紧密联系，构建数学问题中“量”的直观模型，促进学生几何直观的形成与发展。这里的“量”从常量向变量进阶，从离散量向连续量过渡，主要体现在以下三个方面。

一是在数的认识中，数是量的一种抽象，这里的“量”通常是常量、离散量。教学时，我们可以通过画“圈圈图”或制作图形卡片的方式，建立离散量的直观模型，理解数的意义，在这里几何直观主要表现为利用图形描述和分析离散量的问题。

二是在数的运算中，运算是关系的一种抽象，这里的“关系”通常是离散量的关系。教学时，我们可以通过画图的方式，建立离散量的直观模型，理解数量关系，比如3×5，我们可以画“圈圈图”，每行画5个圈圈，画3 行，横着看是3 个5，竖着看是5 个3，观察的角度和算式变了，总数和结果不变，理解乘法的意义，在这里几何直观主要表现为利用图形描述和分析离散量关系的问题。

三是在数量关系中，关系是规律的一种抽象，“路程、速度与时间”“周长公式”“面积公式”“体积公式”等数量关系，是变量、连续量之间变化规律的一种抽象。教学时，我们可以通过画线段图和几何图的方式，建立数量关系的直观模型，在这里几何直观主要表现为利用图形描述和分析连续量变化规律的问题。

二、在图形与几何知识学习中发展几何直观

图形与几何主要包括图形的认识与测量、图形的位置与运动、图形的性质、图形的变化、图形的坐标等。小学阶段主要学习图形的认识与测量、图形的位置与运动两个主题的内容，图形认识是图形测量的基础，图形位置是图形运动的基础。

在小学阶段图形与几何的学习中，我们可以通过感知平面图形和立体图形及其构成要素，依据要素的特征对图形进行分类，以及根据语言描述画出相应的图形，深入分析图形的性质，促进学生几何直观的形成与发展。这里从图形特征的感知到图形性质的进阶，由感性认识上升为理性认识，主要体现在以下两个方面：一是在图形的认识中，图是形的一种抽象，这里的“形”有一维的线段、射线和直线，有二维的角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形和圆，还有三维的长方体、正方体、圆柱、圆锥等。

教学时，我们可以让学生从整体的角度感知这些图形的形状和从局部的角度感知图形的基本构成要素，在此基础上根据要素的特征对图形进行适当的分类，发展学生的几何直观。二是在图形的测量中，测量是图形大小量化的结果，一维量化的结果是长度或周长，二维量化的结果是面积，三维量化的结果是容积或体积。教学时，我们可以让学生依据语言描述画出相应的图形，在此基础上根据图形的特征深入分析图形要素的性质，发展学生的几何直观。

三、在统计与概率知识学习中发展几何直观

统计与概率主要包括数据的分类、数据的收集整理与表达、抽样与数据分析、随机现象发生的可能性、随机事件的概率等。小学阶段主要学习“数据的分类”“数据的收集、整理与表达”“随机现象发生的可能性”三个主题的内容。

在小学阶段统计与概率的学习中，我们可以通过利用统计图和统计表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的路径，促进学生几何直观的形成与发展。这里从数据信息直观感知到数据规律直观刻画的进阶，由感性认识上升为理性认识，主要体现在以下两个方面。

一是在统计知识的学习中，统计是数据蕴含规律的一种抽象，统计表是数据分类与整理的有效手段，统计图是数据蕴含规律的一种直观刻画。教学时，我们应该让学生学会根据实际情境和数学问题，用统计表直观表达数据，学会根据真实情境和真实问题，用相应的统计图直观表达数据，用统计图呈现出来的变化规律进行推断与预测，一般地，条形统计图适用于表达离散型的数据，折线统计图适用于表达连续型的数据，扇形统计图适用于表达部分与整体关系的数据。

二是在概率知识的学习中，概率是随机现象发生可能性大小的一种抽象，本质上是随机事件发生可能性大小量化的一种结果。教学时，为了准确把握随机现象的变化规律，我们应该引导学生通过实验的方式收集相关的数据，学会用统计表整理数据，在观察数据中发现随机现象的变化规律。