运用非智力因素促进数学运算素养的策略探究

薛 飞|浙江省杭州市萧山区第十高级中学

龚超群|浙江省武义第一中学

数学运算素养是数学学科的六大核心素养之一.数学运算，即在明晰的运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题，它是数学研究的主要内容，也是解决数学问题的基本手段.数学运算能力特别注重运算的几何直观化、模型归纳化、特殊到一般化、陌生到熟悉化.在这些转化的过程中，非智力因素的作用相当重要.非智力因素主要指兴趣、情感、意志等，其中，兴趣、情感能直接转化为学习动机，意志则在学生掌握知识的过程中起着积极的作用.教师可从激发学习兴趣、提升数学情感、加强意志力等角度来设计课堂教学，优化复杂的运算，增强学生的信心，培养其自觉学习的习惯，最终提升其数学运算素养.

一、兴趣激发：建构运算模型，发展转化思想

学习活动能否顺利开展、达成预期目标，固然要以学生的智力因素为基础和主导，但也离不开学生主体的兴趣.浓厚的学习兴趣是学习的原动力，积极的兴趣是从事学习活动并取得成就的最初条件.兴趣一般表现为人们力求认识世界、渴望获得科学文化知识和探求真理时带有情绪色彩的心理[1].从心理上看，高中生的兴趣指向事物的内部规律，不断由肤浅变得深刻；而由于学习任务和压力变大，他们对学业相关的兴趣变淡，其他方面的兴趣变浓.因此，教师可创设学生喜欢的、熟悉的真实案例情境，如以生活常识、数学文化、竞技游戏、深度的思维结论等作为课堂引入情境，以激发学生主体的好奇心或竞争意识，促使学生自主学习.需要注意的是，以非智力因素带动智力因素设计教学，选择的情境必须内容适当、难度适中.

（一）以情境激发兴趣，建构模型化运算

数学运算表现为数字的计算和估算、变量式子的组合变形与分离、几何图形中各量的确定与计算等形式，教师可以采用模型化、熟悉化、直观化和特殊化等策略来培养学生的运算能力.数学模型是参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构.建立数学模型，便于沟通实际问题与数学工具.因此，数学模型化是提高学生数学运算素养的重要途径.

教师要做生活的有心人，积极利用课外时间，搜寻可促进学生学习数学的图片、视频、故事、有奖竞赛等，仔细甄别梯度并归类.然后根据教学内容以及学生的学情、兴趣点，创设能引发学生学习兴趣的情境.如此引入相关数学问题，可让学生在兴趣的推动下，将注意力从枯燥的数学概念、定理转移到具体的数学模型上来，主动去探究问题.教师再适当分析问题，引导学生挖掘条件，归纳数学模型，进行模型化、熟悉化的运算，以提升运算速度和学习效果.

例题1：在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？

师：构成平面几何图形的基本元素是点和直线，有哪几种距离的基本类型？

生：点与点之间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离.

师：前面我们研究学习过哪种距离？有什么结论吗？

生：两点之间的距离，已知P(x1,y1)，

师：大家回忆一下，之前我们是如何探求平面中点到点的距离公式的？

生：利用坐标系，把点坐标化.

师：很好，点可以在坐标系中用坐标量化，那么直线呢？

生：直线在坐标系中有直线的方程.

师：那么，问题就变成了平面坐标系中一个点到一条直线的距离问题.即把实际生活中的问题数学化，建立平面直角坐标系，将点和直线分别量化为坐标和方程，建构数学模型.

设计意图：笔者以铁路和仓库之间的直线距离这种实际生活中的应用问题，将抽象的“点到直线的距离”问题具体化，引发学生解决问题的兴趣，然后引导学生逐步分析问题、发掘条件等，使其思维向解析几何问题模型转化，最后建立平面直角坐标系，培养学生的模型归纳能力.

（二）运用数形结合思维转化问题，代入概念运算

针对比较繁难的数学运算，教师要让学生学会观察，学会换个思维或角度去思考运算的方向，如从平面视角去观察空间问题，从空间视角去观察平面问题，代数问题几何化，几何问题代数化等.运用数形结合、直观想象等数学思维来思考，可以有效降低数学运算的难度.

例题2：如果点M(x,y)在变化过程中，总满足关系式10，试写出它的方程.

师：如果使用开根号进行代数化运算，你有什么感受？

生：需要将左边根式移项后平方，整理后再移项再平方，感觉非常复杂.

师：联系两个根号的几何意义，运用数形结合思维思考一下.

生：好像是点到点的距离之和，就是一个动点M(x,y)到两个定点F1(0,3)，F2(0,-3)的距离之和等于10的点的轨迹.

师：结合刚学过的椭圆的定义，再想想它的方程是什么？

生：就是长轴长为10，焦距为6而且中心在远点的椭圆，那么整个式子化简后就是：

设计意图：学生的学习兴趣不仅源于对问题的好奇，更源于对数学问题的熟悉、亲切.笔者以学生熟悉的课本习题为例，逐层分析，引导学生换位思考，根据椭圆的定义和距离的代数形式，运用数形结合思维进行转化，目的是激发学生的探索兴趣，提升其图形直观想象能力.因为，无障碍理解、模型化的习题解答，不仅能激发学生的学习兴趣，更能增强学生解题过程中的自信和热情，使其对解题产生极大的渴望.可以这么说，兴趣是提高数学运算能力的开始，而热情和成功的体验，则是提高数学运算能力的不竭动力.

二、情感代入：梯度问题导引，提升运算能力

情感是课堂教学的第一要素，高中生处于情感认知的懵懂时期，具有强烈的探求心理，但是生理上他们还处于青春发育的成长阶段，心智不够成熟，自信心、成就感发展水平比较低.这具体表现为：害怕挫折失败，承受能力比较差，提出问题、分析问题、解决问题的积极性比较低.因此，教师必须营造积极和谐、主动探究的课堂氛围，使学生思维活跃、热情高涨.低起点、深思维、有宽广度的课堂往往受到学生的喜爱.教师可采用变式教学、从特殊到一般、从陌生到熟悉等策略，营造有思维、有变化、有深度的课堂氛围，让学生有“五步一景，十步一画”的感觉，持续激发学习热情，在解题的过程中体验成功、收获信心，并产生进一步深入钻研的热情，提高数学运算能力.

（一）特殊例题引入，复杂计算熟悉化

从数学概念的定义开始，设计特殊的“点到直线的距离”问题，计算量更小，学生也有更高的兴趣和热情去发现解法的多样性.

例题3：在平面直角坐标系中，求点P（1，2）到直线l：x+y-5=0的距离.

师：谈谈你是如何求点P到直线l的距离的？

生：根据点到直线距离的定义，过P向直线l作垂线交于点Q，求出点Q的坐标，然后利用两点之间距离公式，求出PQ的长度.

师：那么如何求点Q的坐标？

生：利用点斜式求出过点P垂直于直线l的直线l′的方程，再联立l与l′的方程，求出交点坐标Q.

设计意图：距离问题是培养学生直观想象以及运算能力的很好载体，而垂线段法是求点到直线距离的一种常见的方法.笔者先引导学生根据两点之间的距离求出点到直线的距离，目的是让所有的学生都能够积极参与，获得解题成就感，激发自信心，营造热烈的课堂氛围.再利用点斜式求出坐标，使其思路逐步深化，以此引导学生深入研究直观图形，发掘更多更好的思路.

（二）学生自主展示，追求最优算法

由于例题起点低，学生收获了成功的喜悦，热情高涨，笔者趁热打铁，引导学生自主设计不同的解法，然后上台展示、讲解.

师：上面的垂线段法，同学们在解答的时候有什么感受？

生：计算有点麻烦.

师：有没有其他简便些的思路？大家可以从最短距离这个角度考虑，再根据自己的想法来优化运算.

生：解直角三角形法，将“点到直线的距离”问题转化为解直角三角形问题，在斜边及角度（直线的倾斜角）已知的情况下，运用三角函数的知识可以轻松求解（解法略）.

生：等面积法，巧妙构造直角三角形，避开研究三角形的内角，计算简洁、快捷（解法略）.

生：目标函数法，“点到直线的距离”就是垂线段的长度，而垂线段是直线上所有点到定点连线的线段中距离最短的一条，利用这个最短性，与函数的最值联系起来，用函数法来解决（解法略）.

设计意图：笔者让学生思考垂线段法求“点到直线的距离”的弊端，引导他们从最短距离这个角度思考，使其认识由几何直观的“形”向代数内涵的“数”转化，再现数形结合、直观转化，简化数学运算.而让多个学生上台展示、讲解，既可以增加学生的优化意识和竞争意识，又可以增强上台讲解学生的自信和成就感，并以此为激励学生的学习意志作铺垫.

三、意志磨砺：从特殊到一般，深化运算素养

仅有兴趣和情感，课堂氛围固然良好，但学生能否带着这样的热情深入学习还是未知数，这就需要学生具有持之以恒的意志.因此，在学生会解答特殊的、简单的、低起点的问题之后，教师需要进一步设计可持续研究、有一定高度并能让学生保持探究热情的问题，以此锻炼学生的意志，促使学生深化数学运算素养.

我们知道，从初中到高中，数学运算从数字数据的简单运算开始转向变量和字母的复杂运算.而在经历了解特殊例题的获得感和一题多解的成就感之后，学生亟须向新的高度发起挑战，也具备了挑战字母运算的能力.因此，笔者适时创设问题情境，带领学生合作探究，由特殊向一般化递进，训练学生的字母运算能力.

（一）分组合作探究，加强数学运算素养

例题4：在平面直角坐标系中，求点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离.

分组：指定班级里运算能力最好的6个学生组成第一小组，要求必须用垂线段法；喜欢运用解三角形法的组成第二小组，喜欢运用等面积法的组成第三小组，喜欢运用目标函数法的组成第四小组，每组6~8人；还有其他想法的学生组成第五小组，并到讲台边上来接受教师指导.每组自主选择一名组长.

要求1：每个组员运用自己所选的方法独立求解，规定8分钟时间解答，解答完后，同组组员交换检查，发现问题或错误时及时更正.

设计意图：笔者设计从具体数字运算到抽象字母运算的案例，让学生经由特殊的具体例题上升到一般的推理模式，掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，并能在比较复杂的情境中把握事物之间的关联.按同种思维方法分组，可以培养团队氛围.每个学生先自主独立运算，可培养个体的数学运算能力；同组互查，既可在互动的氛围中加深印象，又可发现各自运算中的不足.在这一由具体到一般的计算过程中，大量的复杂运算很能考验学生的意志品质，而由于之前特殊例题的铺垫，学生的算法思路一般不会出问题，关键在于选择合适的方法.此题还可以运用向量法来求解，设计最后一个小组的目的即在此.

（二）各组相互点评，优化数学运算素养

分组合作探究演算非常考验学生的能力，但经历了自主运算、合作探究的过程后，学生已经收获了信心以及解决问题的方法，且磨砺了意志.因此，为进一步锻炼学生的运算能力，笔者设计让计算最快的小组优先发言.

要求2：由组长总结发言1分钟，提出优缺点.计算时间最短的小组优先上台发言，谈谈计算过程中的想法和注意点.

设计意图：四种方法中，以垂线段法的运算最为复杂，所以设计班级里运算能力最强的一组来应对，以示公平.在这种竞争氛围中，学生“八仙过海，各显神通”，计算能力展露无遗.组员之间可以优势互补、查缺补漏，最后组长总结发言，则相当于对本组的思维方法再作一次归纳总结、思维升华.而各组相继发言，也便于学生汲取长处、互相学习，磨砺钻研精神.

我们知道，人类智慧活动的心理结构可分为智力和非智力两大系统：智力是直接参与智慧活动的操作系统；非智力是对智慧活动起发动、调节等作用的动力系统，在学习活动中体现为学习动机、学习兴趣、学习热情、学习毅力、意志品质等.这些非智力因素虽不直接参与对知识的感知、理解、掌握和运用等操作[2]，但能影响智力因素的作用.因此，教师应将非智力因素融入课堂教学设计，促使非智力因素和智力因素深度融合，让学生获得更多的知识体验，提升数学学科素养.□◢