用类比引领学生学会“有序”思考——以平面几何图形性质的发现为例

金红江|浙江省杭州高新区（滨江）教育研究院

拉普拉斯说：“在数学这门科学里，发现真理的主要工具是归纳和类比.”波利亚也形象地称：“类比是一个伟大的引路人.”由此可见，类比是启发探究、获得猜想的重要途径，而几何研究的一般观念则是实现不同学习内容类比，引导学生有序思考的指路明灯.我们所说的几何研究的一般观念，指的是对几何知识的发生发展过程及其反映的数学思想方法的再概括，包括：几何对象是怎样引入的，怎样通过定义加以明确；几何图形的性质是什么，判定是什么；按照怎样的路径研究，研究什么问题，用什么方法研究等[1].在一般观念的指引下，我们可从定义中分离出要素，而为了更好地研究要素，则需要引入相关要素，然后通过研究要素和相关要素的确定关系，发现几何图形的性质.笔者认为，初中阶段图形性质的研究，教师可以在一般观念的指引下，引导学生进行高水平的类比，使其产生自然合理的思考.

一、以三角形性质探索为起点，明确性质研究的一般途径，让“有序思考”成为可能

例如，我们都知道三角形是用线段组成的最简单的二维图形.在对三角形的研究中，我们需要学会如何用数学的眼光观察事物以获得研究对象，探讨如何定义一个研究对象（背景—定义—表示—分类），规划一类几何对象的研究思路（引入—概念—性质与判定—联系/关系—特例研究），以此形成具有可迁移的研究一个数学对象的一般经验，初步形成数学的思维方式，为培养学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象等数学核心素养提供有针对性的学习活动.由此，可将三角形学习作为类比研究其他二维平面图形的起点.

就性质发现而言，第一个环节就是明确图形的要素和相关要素.教师可引导学生根据定义，从组成图形所包含的点、线段着手，分析它们的位置关系，构成怎样的图形，从部分到整体地认识如何从几何图形中提炼出构成要素.明确了要素后，再让学生从研究要素的角度去深入思考，如与要素组成了怎样的特殊位置关系、要素中的特例又有哪些、在研究过程中还需要引入哪些相关知识等，如此，学生将水到渠成地获得要素的相关要素.接下来的第二、第三环节，是研究要素和相关要素的数量关系和位置关系，如此就可获得图形的性质.这三个环节构成了研究性质的一般途径，可以为学生进行高水平类比作铺垫.

环节1：明确三角形的要素、相关要素

教师先让学生根据三角形的定义“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”，明确构成要素“三条线段”.然后根据“不在同一条直线上”“首尾相接”这两个特殊的位置关系围成一个封闭图形，形成“三个角”，以此确定三角形的要素——三条边和三个内角[2].为了更深入地研究边，考虑到边的特殊位置，教师可以引入三角形的高线、中线和角平分线.为了更深入地研究内角，教师可以根据邻补角的位置关系和数量关系，引入外角.由此就可获得边与角的相关要素，为研究三角形的性质作准备.

环节2：探究要素之间的关系

其一，探究三角形的要素“边”之间的关系.（任意两边之和大于第三边）

其三，探究三角形的要素“边”和“角”之间的关系.（后续我们再研究）

三角形要素之间的关系称为基本性质，教师要让学生明确对性质的探究可采用观察、测量、剪、拼等方法，并引导学生聚焦要素（边、角）的等与不等关系，经历“实验—观察—测量—猜想—验证—证明”的基本研究过程，学会用数学的眼光观察世界.

环节3：探究要素和相关要素之间的关系

其一，探究三角形的要素内角和相关要素外角的关系.（位置关系：相邻，不相邻.数量关系：互补；外角等于不相邻两内角之和；外角大于不相邻的内角）

其二，探究边的相关要素高线、中线、角平分线的关系.先从一条高线入手，根据位置关系和数量关系获得结论；再研究两条高线、三条高线.

其三，类比高线的研究思路，探究三角形中线和角平分线的性质.

绿道作为生态环境保护的重要手段，具有保护栖息地、维护物种多样性、改善城市小气候、修复生态环境等生态功能[1-2]。城市化发展过程中，城市扩张会带来诸多负面效应，城市绿地功能退化，生境破碎化现象越来越严重。基于低碳生态的城市绿道规划的核心是协调城市开发与生态格局保护，建立支持生态功能发挥的可持续的土地利用模式。本文结合杭州临安青山湖绿道规划设计实践，探讨基于低碳生态理念的绿道规划策略。

在三角形性质的探究过程中，教师应让学生明确性质的研究是有层次的，其中，要素的关系是第一层次，相关要素的关系是第二层次[3].这种有序的探究，顺应了知识间的内在联系与规律，有利于类比发现和提出新的猜想，有利于运用已有学习经验解决新的问题.这种有序的思考是数学逻辑性的集中体现，可以培养学生思维的广阔性、条理性、深刻性.同时，这种循序渐进、串珠成链的研究过程以及所蕴含的思想方法，也是培养学生逻辑推理能力的关键载体.

二、以直线型图形性质探索为实验，践行性质研究的一般思路，让“有序思考”成为技能

经过对三角形性质的探究，学生已经知道什么是几何图形的要素和相关要素，怎样获得要素和相关要素，知道几何性质指的是什么，是按照怎样的路径来研究的，用什么方法研究等.接下来，我们就可以类比三角形性质研究的一般思路，提出研究其他二维图形性质的问题.例如，等腰三角形作为一种基本的三角形，它的对称性反映了平面的反射对称性，定性平面几何的首要任务是推导等腰三角形的性质[4].而推导性质的思路仍是从研究要素、相关要素及它们之间的关系来有序展开的.因此，在学习直线型几何时，可选择等腰三角形作为案例进行说明，谈谈其性质的发现过程.

环节1：学生自主提出研究等腰三角形的问题

等腰三角形如何定义；确定等腰三角形的要素、相关要素；探究它们的数量关系和位置关系；证明.

环节2：提炼等腰三角形的要素和相关要素

学生根据小学阶段获得的学习经验，得到定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.这样就明确了等腰三角形是三角形的组成要素（即“边”）特殊化之后形成的，由此理解三角形和等腰三角形是一般与特殊的关系.于是，就顺理成章地得到等腰三角形的要素：两条腰和一条底边，一个顶角和两个底角.相关要素有：顶角的外角，底角的外角；腰上的高线、中线，底角的平分线；底边上的高线、中线，顶角的平分线.

环节3：学生自主探究要素、相关要素的关系

第一步，学生折叠等腰三角形纸片后，得到等腰三角形是轴对称图形的结论.然后聚焦等腰三角形的要素进行观察，得到两腰、两底角的数量关系.最后，采用“观察—测量—猜想—证明”的方法，得到性质定理：等腰三角形两腰相等，两底角相等.

第二步，学生运用相同的方法，自主探究相关要素的关系：顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合；等腰三角形两腰上的高线（中线或底角的平分线）相等.

第三步，学生归纳出探究等腰三角形性质的步骤.

通过类比三角形性质的探究过程，可得出等腰三角形性质的探究路径，这就是“有序思考”问题的一种体现.直线型几何的其他图形（如等边三角形、直角三角形、四边形、特殊四边形）的性质的探究过程，其指导思想都是探究要素、相关要素的数量关系和位置关系，研究的方法也是“实验—观察—猜想—证明”的步骤，只是在组成的要素上，四边形多了“对角线”.学生可以类比三角形、等腰三角形性质的发现路径，有逻辑地提出研究其他直线型几何图形性质的问题，从而进一步增强“有序思考”的能力.

三、将圆的性质探索路径推广，形成性质研究的一般方法，让“有序思考”成为本能

圆，是最具完美对称性的平面图形，它继承了研究直线型几何图形的思想方法，又有其特殊性，特别是在要素的提炼上与直线型几何图形大不相同[5].圆中没有边、角和对角线，那么，怎样有序探究圆的要素和相关要素，使学生获得相关概念？这是培养学生迁移能力、“有序思考”能力的重要体现.我们可以根据圆的性质的发现过程，从定义入手，分析组成圆的要素和相关要素，以获得性质研究所涉及的概念，然后寻找它们的位置关系和数量关系.这种研究性质的基本途径和方法，与直线型几何图形性质的发现过程一脉相承，是培养学生“有序思考”能力和发展学生数学核心素养的有效载体.

（一）明确圆的要素、相关要素

第一步，学生提出研究圆的性质需要通过哪些问题：圆的定义；明确圆的要素和相关要素，研究要素和相关要素的关系；证明相关结论的正确性.

第二步，学生发现圆中没有边、角和对角线.教师引导学生根据以往的经验，回到圆的描述性定义“在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线”，抓住本质特征：圆上的点到圆心的距离都相等.因此，将组成圆的要素聚焦到“圆上的点”.

第三步，学生提炼出圆的组成要素：弦（特殊情况是直径），弧（优弧、劣弧、半圆）.然后，考虑圆心与圆上的点的关系，得到相关概念：圆心角，圆周角，弦心距.明确研究圆的性质，就是研究弦、弧、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系.

设计说明：圆不同于直线型几何图形，研究它的要素，聚焦于“组成圆上的点”，可使弦、弧、圆心角、圆周角、弦心距这些概念按逻辑顺序出现.如此，可有效培养学生的迁移能力和有序思考能力.

（二）“垂径定理”的探究过程

第一步，学生折叠圆形纸片，发现圆是轴对称图形（如图1，学生画直径AB）.

图1

第二步，教师要求学生折叠一次图1中的纸片，使得它还是轴对称图形，并画出图形.学生画出两类图形，一类是CD⊥AB（如图2），一类是CD//AB（如图3）.接下来，教师引导学生聚焦于寻找弦、弧、直径的关系，以此培养学生发现并提出问题的能力，使之能用数学的眼光观察世界.

图2

图3

第三步，仔细观察图2，学生可发现弦、弧、直径三者之间的关系，然后通过证明可获得垂径定理.在证明的过程中，学生发现“半弦、弦心距、半径”组成了一个直角三角形（半弦2+弦心距2=半径2）.如此，经历从定性研究到定量刻画的过程，学生就体会到了轴对称图形用“部分刻画整体”的价值.

第四步，仔细观察图3，学生发现平行弦所夹的两段弧长相等，其证明的过程，就是垂径定理的应用过程.此外，学生提出一个问题，在直径AB的异侧，是否还存在与AB平行，并且长度等于CD的弦？教师适时让学生分析这一问题，可加深学生对圆的轴对称性的认识.

设计说明：引导学生自主探究圆是轴对称图形，它的性质不仅有垂径定理；让学生从“定性研究—定量刻画”这一过程中掌握定理，发展思维；让学生在定理发现的过程中，类比研究直线型几何图形性质的一般思路，有序地提出所要研究的问题，经历用数学的逻辑思考问题的过程.

类似的，圆心角定理、圆周角定理及其推理的发现过程，学生也可以通过类比垂径定理的研究思路和方法，提出所要研究的问题和解决策略.在这种有逻辑地发现问题、提出问题、解决问题的过程中，经过点点滴滴、反反复复的渗透和训练，学生就能形成“有序思考”问题的能力.

上述平面几何图形性质的发现过程，笔者均在“怎样研究一类几何图形”的一般观念指引下，从几何图形的定义中提炼出要素、相关要素，引导学生研究它们的位置关系和数量关系，有序地进行层层深入的探索，进而自主发现并提出新的猜想.在探索猜想的证明中，笔者又引导学生利用几何图形性质的层次性，寻求逻辑关联，以此建构“前后一致”“逻辑连贯”的研究思路和方法.实践证明，类比法是引发学生合理有序的思维活动、培养学生逻辑思维能力的有效途径.□◢