立足课标重素养 根植基础重发展——2022年安徽中考数学试卷印象

安徽省蚌埠市教科所 陈耀忠 (邮编：233000)

安徽省蚌埠市高新实验学校 孙陈威 (邮编：233000)

岁序更替，华章又新．2022年试题从我省初中数学教学实际出发，结合学生的年龄特点和认知水平，遵循课标，彰显素养，稳步革新．试题既考查了课程标准所规定的现代生活所需要的数学基础知识与基本技能，又关注未来发展，考查学生对知识的迁移能力和创新意识．试题有良好的区分度、恰当的难度，符合国家“双减”政策后的学业评价导向，是一份能够全面、准确地评估初中毕业生是否达到课标所规定的数学学业水平程度的高质量义务教育阶段终结性考试试卷．

1 立足课标，追求一致

试题严格执行《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“课标”)理念．

1.1 SEC一致性分析框架建立

笔者采用“SEC一致性分析”模式，分别从内容主题、认知水平两个维度对2022年安徽中考数学试卷和课标进行一致性分析．将课程内容进一步细化为“数与式”“方程与不等式”“函数”“图形与几何”“统计与概率”五个知识模块，并结合研究对象的实践性、层次性、可操作性，将认知水平划分为“了解”“理解”“掌握”“应用”四个维度．建立了“内容主题×认知水平”二维分析框架．构建一致性分析框架后，需将试卷和课标分别进行编码，再把对应编码的数据填入分析框架，统计出原始数据，然后把原始数据的矩阵转化成比率值数据矩阵，将数据代入一致性系数公式：

计算二者的一致性系数．本文二维矩阵为5×4矩阵，n的取值为20．通过查阅文献，从统计学角度看两者比率数据矩阵要在0.05水平上达到显著一致，采用双尾检验，Porter一致性系数要达到0.912的临界值以上才具备统计学意义上显著的一致性．

1.2 SEC一致性分析结论

通过对课标在“内容主题×认知水平”二维分析统计，得到原始数据，原始数据进行归一化处理，即将表格中每个单元格数据除以表格右下方总数据，得到每个单元格数据占总数据的比率，比率和为1．统计得到的课标和试卷编码比率数据如“表1”和“表2”．

表1 课标编码比率数据表

表2 2022年中考数学试卷比率数据表

从上述数据来看，2022年安徽中考数学试卷内容主题考查权重整体符合课标要求，“图形与几何”考查占比最高，“方程与不等式”考查占比最低．但“图形与几何”“方程与不等式”的考查力度均低于课标要求．“数与式”“函数”“统计与概率”的考查力度略高于课标要求，具体见“图1”．试卷认知水平的考查权重整体符合课标要求，“掌握”水平考查占比最高，“运用”水平考查占比最低．但“了解”“理解”“运用”水平的考查力度均低于课标要求，“掌握”水平的考查力度明显高于课标要求，具体见“图2”．试卷与课标一致性系数为0.862，小于0.9142，二者之间虽不具有统计学上的显著一致性，但与课标的一致性程度较高，试卷能很好地反映课标理念．

图1 2022年中考数学试卷与课标内容主题对比统计图

图2 2022年中考数学试卷与课标认知水平对比统计图

2 立足基础，着眼发展

教材是表达课标理念的有效载体．2022年试题本身既根植基础，依托教材，又着眼发展，高于教材(本文提到的教材指安徽省普遍使用的沪科版初中数学教材)．试题大多选材于教材，清新自然，不偏、不怪．这些试题是命题专家在深入研究教材的基础上为大家呈现的智慧结晶，同时这种背景的试题对所有学生而言既保证了基本的公平性，也体现了课标所倡导的“面向全体学生”的基本理念．

试卷第2题是七年级上册教材第42页例3的变式．试卷第3题九年级下册教材第85页第1题图的简单化．试卷第7题是九年级下册第31页第5题部分条件和结论的互换得到的新命题．试卷第9题是八年级上册第48页第13题的改造．试卷第11题是七年级下册第36页习题的选用．试卷第12题源于八年级下册第36页练习第2题的重新赋值．试卷第13题源于九年级上册第48页练习第3题的衍生．试卷第19题是九年级下册第39页练习第3题的重加工． 试卷第20题源于九年级上册第136页A组复习题第9题的基本图形．试卷第23题是九年级上册第38页练习第1题隧道问题的再研究．

试卷依托教材，根植基础，题型与难度也与教材相当．试卷第1、2、3、4、5、6、11、12、15、16、17、18、19、20、21、22(1)、23(1)题侧重对基础知识和基本能力考查，基础题考查分值较2021年提高约6个百分点，具体见“图3”．

图3 安徽省2022年初中学业水平考试数学试卷基础题分值占比统计图

试卷的发展性试题数量较去年也增加明显，分值较2021年提高约7个百分点，见“表3”和“图4”．试卷第5题考查借助平面直角坐标系知识理解速度的快慢，试题引导学生运用数学知识解释现实问题，对学生未来发展具有积极的引导价值．试卷第7题考查圆幂定理，而圆是圆锥曲线的特殊情形，该定理对高中阶段圆锥曲线幂定理的理解奠定了基础．第8题概率求解计数能力的考查设计，体现了为不同考生提供不同的解题路径的命题思想，其分类计数的解题方法同样为未来学习做了铺垫．试卷第20、23题关于三角函数和二次函数性质的考查，同样为高中阶段该两块知识的再学习做好了铺垫．

表3 安徽省近六年初中学业水平考试数学学科试卷考查发展性试题统计表

图4 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷发展性试题分值统计图

3 立足素养，关注能力

试卷遵循课标，以素养立意，充分彰显了对数学运算、逻辑推理、几何直观等数学核心素养的考查．本文对比分析了安徽近六年数学核心素养考查情况，每考查一次记为“1”，然后再折算出每一种核心素养考查的比率．具体见“表4”和“图5”．分析发现，2022年中考试卷数学运算素养考查占比依然最高，同时数学建模和直观想象素养的考查比重均有所提升．2022年试卷直观想象素养考查占比略高于逻辑推理素养，逻辑推理素养考查比重较2021年有所下降．

表4 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷数学核心素养考查占比统计表

图5 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷数学核心素养考查占比统计图

4 立足生活，关注运用

2022年试卷注重考查学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．统计了安徽省近六年中考数学试卷数学建模素养考查情况，如“图6”．对比发现，数学建模素养考查权重近三年呈上升趋势．2022年试卷注重应用，关注生活，同时体现在试题情境的设计上．近三年，以现实问题为背景的试题数量稳步提升，如“表5”和“图7”．2022年试卷在设计情境时，格外强调试题情境的公平性、多样性、时代性．如试卷第8、17、20等题，背景公平，学生易于接受．第21题选择备受关注的第24届北京冬奥会设计统计基本问题，考查简单的统计概念和估计思想，试题情境具有明显时代性．第23题考查从实际情景中提炼数学模型，进而解决简单数学问题的能力，试题背景源于教材，贴近生活．

图6 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷数学建模素养考查变化图

表5 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷试题情境考查题数统计表

图7 安徽省近六年初中学业水平考试数学试卷试题情境考查统计图

5 立足实际，守正创新

试卷结构延续了往年的题型和题量，选择题10题共40分，约占全卷的26.7%；填空题4题共20分，约占全卷的13.3%；解答题9题共90分，占全卷的60%．试卷整体图文并茂，与去年一样保持12道带图题，文字数较去年略有增加，一如既往卷面美观，语言简洁、准确、规范、易懂，基本没有无关信息的干扰，利于考生理解．2022年试卷较以往虽有很多传承，但试卷在传承的基础上也进行了大胆革新，具体如下：

数学文化为背景的试题2021年试卷有所涉及，但2022年试卷未涉及；谈到坐标，学生往往认为坐标仅用来定位和研究图形的变换，2022年试卷第5题一改常态考查借助坐标理解速度的快慢，引导学生运用数学知识解释现实问题；填空压轴题由2021年的二次函数问题改为了平面几何问题；试卷第23题打破了近十年几何压轴的固有局面，回归了2012年的二次函数压轴；填空第1题由去年的简单有理数的运算改为了一元一次不等式求解，试卷将计算第1题的解一元一次不等式改为了简单有理数的运算；增长率问题近两年没考，2022年以解答题的形式考查了；根的判别式2021年试卷没考，2022年试卷考了；估值问题2021年试卷考了，但2022年试卷没考．

2022年试卷还有一些知识点的考查看似一成不变，实则也也进行了革新．如，三视图的考查，由2021年给出三视图甄别几何体，回归了给出几何体判断三视图；统计与概率由过去的选人背景改几何背景后，现又改为了应用背景，并突出对分类能力考查；幂的运算由去年的单纯计算改为给结果判断计算式；三角形面积问题由去年放在解直角三角形中考查改为了渗透在选择压轴题中考查，既实现了考查目标，又彰显了应用意识和创新意识．

6 典题剖析，深挖细品

例1(2022年安徽中考数学第5题)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用时间如图所示，按平均速度计算，走的最快的是

A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁

本题侧重基础，背景公平，主要考查对平面直角坐标系的理解，再考查运用坐标系中点的意义解释实际问题．本题打破了学生对于坐标仅用于定位和研究图形变换的局限认识，旨在引导学生运用数学知识解释现实问题，题目设计新颖，活而不难．

例2(2022年安徽中考数学第7题)已知圆O的半径为7，AB圆O的弦，点P在弦AB上，若PA=4，PB=6，则OP=

本题取材于教材中习题，旨在考查圆幂定理．教材习题给了图形，本题未给图形，旨在考查学生对于基本图形的构图能力，同时该题的解法还具有一定的开放性，考生既可借助圆幂定理列出算式(OP-4)(OP+4)=PA·PB求出结果，也可通过作弦AB的垂线，进而根据垂径定理和勾股定理解决问题．圆是圆锥曲线的特殊情形，该定理对高中阶段圆锥曲线幂定理的理解也奠定了一定的基础．

例3(2022年安徽中考数学第9题)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图象可能是

本题是教材习题的再造，改造巧妙，主要考查一次函数的图形和性质，考查学生对一次函数的一次项系数、常数项对于图形影响的掌握．考生需从答案出发，利用数形结合思想分析问题，由一次项系数不为0，得a2>0，因此答案图中直线从左向上上升的一次项系数a2，可根据该直线在纵轴截距判断a的符号进而得出答案．解决好此题，不仅需要熟练掌握一次函数的图形和性质，同时还需要一定的逻辑推理能力．该题具有较高的效度和信度．

例4(2022年安徽中考数学第10题)已知点O是边长为6 的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0+S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是

本题从考生熟悉的图形入手，考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是利用代数推理得出△PAB是定值(P在AB左侧,其他情况如下图)．此题有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，即P点只能在某一直线上运动．此题可促使考生的空间观察和思维能力得以发展，数学韵味浓厚．

例5(2022年安徽中考数学第14题)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰三角形，EF,BF分别交CD于点M,N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，请完成下列问题：

(1)∠FDG=__________°；

本题主要考查正方形性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．本题设计新颖，将平面几何中正方形、等腰直角三角形等基本图形性质、全等和相似变换等重要知识巧妙地串联在一起，两小问层次鲜明．第二问解法多样(部分解法图形如下)，有的简捷，有的繁杂，有的巧妙，但殊途同归．此题可引导学生深切体会，正是由于思维的发散性导致了解法的多样性，能够很好地发展学生的创造性思维．

例6(2022年安徽中考数学第22题)在四边形ABCD中，BC=CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.

(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

(2)如图2，连接AC,设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.

(i)求∠CED的大小；

(ii)若AF=AE,求证：BE=CF.

本题题面简洁，源于教材，高于教材．问题设计层次分明，第(1)问直接证明菱形，条件简明；第(2)问有两小问，第一小问主要借助于垂直平分线和等腰三角形性质进行角的传递，进而发现一平角被三等分，实际上此时△EAD≌△ECD≌△EBD，此问条件设计巧妙，看似不难，但考生对于此种角的变换相对陌生，对他们来说本问是一个不小的挑战；第二小问的设计对考生分析问题的能力提出了更高层次的要求，结论中隐含的特殊角、等腰三角形、四点共圆等结论为求解该题提供了丰富的想象空间．此题由对称基本图形(试题涉及的部分基本图形如下图)入手，衍生一系列问题，题面简洁，内涵深刻，让考生切身感受对称是一种最基本的图形变换,是学习空间与图形知识的必要基础．此题通过求解过程可助力考生建立空间观念,培养空间想象力，可谓用心良苦．

例7(2022年安徽中考数学第23题)题略

本题立足课标理念，突出建模素养，关注问题解决．试题源于教材挖隧道问题，重在考查待定系数法求解析式和二次函数的图象和性质．解决本题的关键是要利用好数形结合思想，准确识图，确定关键点坐标，进而分析解决问题．问题解决往往伴随着数学应用，数学应用是指对于生产、生活及相关学科中的数学实际问题，运用数学知识、数学思想与方法分析研究，并进行加工处理，最终获得问题解决．本题考查了完整的数学应用过程：一是把实际问题数学化即数学建模，二是运用数学知识、数学思想方法解决问题，试题起点低，立意高，思想深．

7 反思教学，把握方向

7.1 立足课标，深研教材

课标是教材编写的依据，教材是表达课标理念的有效载体．通过分析发现，中考数学试题大多取材于教材．教师要认真学习课标，要切实增强课标意识，深入理解课标的思想内涵，熟练掌握本学科课程标准设置的目标、内容、阶段、建议等．教学中，教师要加强集体备课，吃透教材，领会教材意图，深度研究教材素材，创造性的使用教材，对教材中的习题、例题，以及公式、定理进行深入的拓展．

7.2 落实双减，减负提质

2022年中考数学试卷坚持面向全体学生，体现了基础性和公平性，试题整体难度系数较去年有所下降．试题均为原创题或较大幅度的改编题，没有偏题、怪题，试题考法灵活，立意新颖，仅靠大量重复性题海训练很难取得高分，教师唯有严格落实“双减”，立足重难点，跳出题海，精讲精练方能助力学生取得理想成绩．教师也不要花大量时间去猜题、押题，因为很难压到题．教师应更多的调研学情，因材施教，帮助学生查漏补缺，把握重点，突破难点，同时多维度，深挖教材，捕捉教材中的经典图形，同时对衍生问题进行有效整合，这样才能以不变应万变．

7.3 关注问题，强化应用

近年来，中考试题喜欢用简单素材衍生新问题，并为之创造新情境．中考数学试卷带有现实情境的试题占比提高明显，数学建模素养考查权重也明显提升．笔者认为要解决好此类问题，教师必须扎扎实实的落实问题教学．问题是数学的心脏, 思维是数学的灵魂，数学教学一定程度上就是问题教学．教学中教师要善于创设问题情境，课堂上要引导学生读题、审题，提升阅读能力，要引导学生勇于发现问题、敢于大胆质疑，并能运用所学数学知识分析并解决实际问题，逐步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，最终形成学好数学、用好数学的意识和习惯．

7.4 聚焦素养，数形结合

分析发现，大量训练形成的思维定势影响了学生在考场上的发挥，特别是应对一些考法灵活的新问题．这就要求教师要关注数学素养的渗透，要借助相关基础知识的教学，把内隐的数学思想、数学方法、数学活动经验等贯穿在教学全过程，要充分发掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性和创新性．日常教学中，教师要在总结经验、掌握通式通法的基础上，引导学生结合题目特点，一题多解，一题多变，拓宽思路，在变式训练中发展思维的灵活性与发散性．此外，2022年中考试卷12题带有图，共15题需要借助图形加以解决，需借助图形解决的试题数量占总题量的65.2%．教学中，教师要有意识地培养学生数形结合的思维习惯，引导学生运用数形结合思想发现问题，分析问题，思考问题，解决问题．教学中，要借助典型问题，引导学生深刻体会“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．