一道高考题失分原因分析与思考

2022-12-27安徽省砀山中学邮编235300

中学数学教学 2022年6期

关键词：材积根部林区

安徽省砀山中学辛民 (邮编：235300)

1 问题起因

针对高考后师生议论的焦点，笔者邀请部分参加高考的学生、教师对2022年全国高考数学乙卷第19题进行座谈，教师普遍认为题目来源现实世界，难度不大，但学生普遍感觉较难、失分较多.围绕这一现象大家交流、探究、思考如下，旨在与同行交流.

2 原题再现

某地经过多年的环境治理，已将荒山改成了绿水青山，为了估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10可这种树木，测量每颗树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位m3),得到如下数据：

标本号i1234567890总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

(1)估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积与平均一颗的材积量；

(2)求该林区这种树木根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确的0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为180m2,已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比，利用上述数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数

(2022年全国高考数学乙卷第19题)

3 试题评述

以社会生活中人们关注的环境治理为背景材料，依托“绿水青山就是金山银山”的理念设计试题，情境中蕴含着潜在的线索和限制，需要学生综合已有的所学知识和技能分析当前情境，明确任务，解决问题.从而全面考查学生应用统计的基本知识、基础方法和基本技能进行创造性整合能力，有助于考查学生发现问题、辨析概念、建立关系的能力，同时对数据处理、数学运算及数学建模等核心素养也作了相应的考查.

其中第(1)问，要求利用统计的方法估计两个平均值；第(2)问，求相关系数，要求学生具有较高的恒等变形及数据处理能力；第(3)问，计算总材积，要求学生利用所学的知识解决实际问题.

4 试题解法

解(1)

所以该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m2、平均一颗的材积量为0.39m3.

(2)解法一由题设易得下表

标本号i1234567890总和xi-x-0.020-0.020.020.02-0.01-0.010.010.010(xi-x)20.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.002yi-y-0.140.01-0.170.150.12-0.05-0.030.070.030.01y i-y)20.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.0948(xi-x)(yi-y)0.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134

所以相关系数

注：列表分析统计数据，表述、说明问题是一种很好的方法，表达简洁、清晰明了，容易检验结果.

5 失分原因分析

5.1 读题、审题能力薄弱

5.2 对于第(3)问理解不准确

对于条件“已知树木的材积与其根部横截面积近视成正比”视而不见，不能正确分析当前的问题情境，机械地套用一元线性回归模型公式y=a+bx求解，个别同学理解了上述假设也不相信高考试题会如此简单，只需利用小学学习比例关系解题，暴露个别学生极不自信.

5.3 基本运算能力薄弱

直接机械代入公式，导致数据太多、运算量太大，乱中出错误百出，不能针对问题情境选择合适的表述方式——列表；公式变形后代入数据，对算术根理解不准确，导致结果不正确.

5.4 统计学中基本概念理解不准确

如第一问最后写成：估计该林区这种树木平均一颗的根部横截面积为0.06m2、平均一颗的材积量0.39m3.

出现上述现象的根本原因是，长期以来师生只注重零零碎碎知识得识记，不注重对数学学科中核心概念、定义、定理、性质公式、法则等内涵外延的理解与辨析，自觉建构知识网络，形成牢固的知识框架；平时教学中，师生对数学运算认识不到位、不重视，教师认为数学运算是学生自己的事，例题讲解时不板书、不示范，学生课下不练习，不总结、不思考，运算能力提升无从谈起；教学中，教师重视解题方法的展示，一题多解，一题多变，但是不注重阐述解题方法由哪里来？怎么来的？到哪里去？干什么？学生解题能力的提升何从谈起！平时教学中教师已经注意教学情境的设计，但仅仅注意孤立技能在固定情境下的简单应用，情境的设计过于人为的简化和抽象，丧失了与现实社会生活的连接，导致学生遇到真实情境的问题时不会认真分析问题的情境，提出问题、解决问题，只会机械的套用公式解决问题.

6 教学启示

6.1 注重必备知识复习巩固

在高三复习教学中，对于每一个必备知识，都要从它的表征的多层性和多样性上去设计问题开展教学，引导启发学生思考，理解辨析必备知识，帮助学生站在数学学科整体高度上，再次经历知识形成的过程，了解知识产生的背景，体验数学化的方法，提高抽象概括能力和数学表达能力，帮助学生构建知识网络，清除认识上的盲点和难点，优化知识结构，领悟数学知识中蕴含的数学思想方法，建立从核心概念到解题方法自然链接.但同时要避免从过细的学科知识点角度思考学科内容，罗列清单，要强调学科内容的结构性和关联性，突出思想方法和探究技能的运用.

6.2 养成良好的运算习惯

数学运算不是单纯的数值运算，而是一种推理运算，一般是理解运算对象后，根据数学基本知识先推理再计算求值，并能够根据问题条件寻找并设计合理、便捷的运算途径，因此数学运算不仅是计算，还应包括探索、求解问题的思路，借助有效的运算方法解决问题，更重要的是通过数学运算促进数学思维的发展，养成程序化思考问题的习惯，养成一丝不苟、严谨求实、理性缜密的科学精神.

6.3 适当设计复杂开放的现实情境，解决有意义的真实问题

学生经历复杂开放的现实情境，是发展学生核心素养的重要依托，重视不确定的跨学科探究主题和社会实践活动的开展，有助于激发学生参与和投入的兴趣，培养学生综合运用相关知识和技能分析当前情境，明确问题，创造性整合能力，有助于帮助学生提升发现问题、辨析概念、建立假设、验证假设的能力不良结构问题的不确定性和开放性，可以给学生展示他们分析问题的思考过程.单也要注意核心素养的形成、培养，不能脱离集体的课程内容，学生只有具备系统的、结构化的学科知识和技能、思想方法和探究模式，才能深刻理解特定的任务情境，明确问题，形成假设，解决问题，积累解题活动经验，提升解题能力.