汇集知识，融会贯通，收获方法——一道几何题的教学与思考

陈秀清

天津市静海区大邱庄镇中学 301606

学生学习兴趣的培养比学习方法重要，学习方法比学习知识重要.在解题教学中，教师要引导学生积极参与，同一道题不要局限于一种解法，要通过多法探究，培养学生的发散思维，进而实现知识的融合贯通.笔者通过一题多解的教学，融合初中几何众多重要知识，以使学生收获多种求解线段的方法与思路.

真题再现

问题：如图1所示，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段AD的中点，连接BE得到△ABE，将△ABE沿直线BE折叠得到△FBE，BF与AC相交于点G，求线段CG的长.

图1

这是一道以正方形为背景的几何综合题，综合考查了轴对称的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及三角函数等重要知识.学生需要根据题意作出辅助线，构造全等三角形与相似三角形，然后利用它们的性质解答，其中渗透了数形结合、转化等数学思想，是一道较好的几何综合题.

解法探究

师：通过阅读试题，可得到的已知条件包括：正方形ABCD的边长为1，点E是AD的中点，△FBE 是△ABE 沿直线BE折叠得到，AC是正方形ABCD的对角线，所求问题是求线段CG的长.当然线段CG的长不能直接去求，必须找到与线段CG相关的结构，从CG相关的结构入手找到已知与未知的连接点，与线段CG相关的结构有哪些呢？

生1：从图1可以看出，与线段CG相关的结构包括：线段AC，△CGB，△AGB.

图2

师：上述两位同学都致力于求线段DH或HF的长，分别采用了相似三角形与射影定理，其他的步骤都相同，那么求线段DH或HF的长，还有没有其他的方法呢？

图3

图4

图5

师：这位同学把问题集在锐角三角形GAB中，通过解直角三角形求得AG的长，从而求得CG的长.在上述的不同解法中，分别展现了求线段长的三种方法，一是利用直角三角形的勾股定理求线段段长；二是利用相似三角形对应边成比例求线段长；三是利用解直角三角形求线段长，这些都是我们宝贵的解题经验.

教后反思

（一）重视学生体验知识的生成过程

学生学习知识是一个探索、发现、感悟的过程［1］，在此过程中，学生 不仅收获了知识，而且体验到了知识的生成过程，收获了解题方法与数学思想.在本课教学中，学生通过求与CG相关的量从而求得CG的值，体会到了转化的数学思想.学生还通过添加辅助线构造直角三角形、相似三角形、全等三角形，利用直角三角形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的性质解决问题，体会到了构造法在解题过程中的重要性.同时，在探索的过程中，学生相互启发，由此及彼，由点及面，不断生发思维的火花，促进了思维的发展.由此可见，数学教学应重视探究知识的生成过程，让学生在独立思考、小组交流中经历知识生成的过程，体验数学思想方法，从而获得探索的快乐.

（二）在规律探究中培养学生思考力

鲜活的问题是规律探究的有效载体.实际上，学习数学就是通过解决问题发现其中的内在规律，然后运用规律解决问题.规律的内涵丰富多样，可以是通项公式，可以是计算方法技巧，也可以是解决某类问题的思路与步骤，还可以是抽象出来的数学思想方法.解决完具体问题后，不能局限于这一个问题，应通过追问与探索，看看解决问题的方法是否具有普遍性与规律性，问题的结论是否可以进一步延伸？数学问题千变万化，但数学规律是恒定不变的.如在本例中，学生发现在某一个三角形中，已知一个角的度数与另一个角的正切值，还有一条边长，就可以解这个三角形，求出任意一边的长，方法是过第三个角的顶点作垂线，构造两个直角三角形，利用勾股定理建立方程可以求得相应线段的长.又如，在复杂的图形中，发现其中的基本图形，如本例中有一线三等角模型、三垂直模型，还有A型相似、X型相似、反A型相似、反X型相似等.因此，在数学教学中，教师要有意识地培养学生探究规律的意识，不断提高学生的数学学科素养［2］.

（三）在融会贯通中加强知识的运用

数学知识是具有逻辑关系的一个知识体系［3］.数学教师要帮助学生不断加固知识结构，提高学生综合运用知识的能力，让学生既见树木又见森林.在本题的探究过程中，并没有单纯以解答问题为目的，而是注重了解法的对比联系，通过一题多解的形式促进学生多维思考，又通过多解归一实现知识的融会贯通.学生探究出了五种解法，拓宽了思维路径，培养了发散思维.同时，通过基本图形的发掘与基本方法的发现，学生能实现知识的内在统一.