初三数学复习课中“微专题”构建策略<br/>——以“反比例函数”专题复习课为例

初三数学复习课中“微专题”构建策略
——以“反比例函数”专题复习课为例

2022-12-25郭红如

数学教学通讯 2022年32期

郭红如

重庆市开州区教师进修学校 405400

认知负荷学习理论认为：工作记忆的容量是有限的，每次只能储存5～9条基本知识信息（或称为基本信息块），教育教学学习的知识信息经过工作记忆阶段加工后，主要储存在长时记忆中；如果需要加工的知识信息超过工作记忆的容量，就会造成学习者的认知负荷，学习者的学习多被认为是无用的［1］.“微专题”即小专题，“微”是指模式，“专”是指内容.初三数学复习课中引入“微专题” 复习，学习容量小且问题集中，目标明确容易理解，可以紧密联系相关的数学知识和方法，能有效降低学生的认知负荷，提高复习效率.

“微专题”复习课构建举例

（一）知识点回顾

构建新的活动认知，需要对概念和性质进行回顾，建立联系，抽象出简约的知识网络框架（如图1），发展学生的数学抽象能力.

图1 反比例函数知识网络框架

（二）本节课内容要点

原理：在反比例函数图像上，任意取一点向两坐标轴作垂线段，与两坐标轴所围成的四边形的面积为

（三）设置热身训练

关于反比例函数的概念、性质，教师带领学生进行回顾之后，再引出关于k值的求解，让学生简单说明为什么四边形的面积为.然后进行热身训练，学生通过训练更快地进入本节课主题，加强自身对xy=k（k≠0）这一函数形式的理解.“微专题”中热身训练习题的选择一定要体现基础性，让大部分学生能有所收获，使学生掌握利用函数基本概念和基本性质来解决问题的方法.

图2

简析点A在双曲线y=上，所以矩形OEAD的面积为1，点B在双曲线上，所以矩形OEBC的面积为3，所以矩形ABCD的面积为3-1=2.

图3

简析由反比例函数的图像特点可以判断k＜0，三角形OAB 的面积等于，所以k=-4.

图4

说明这类利用面积求k值的问题，要先根据反比例函数的图像特点去判定k的正负.经过热身训练之后，学生对反比例函数k值求解问题有了比较明确的思路，可以掌握基本的解题技巧.

（四）设置拔高训练与变式演练

例1如图5，已知双曲线y=（k≠0），经过Rt△OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为______.

图5

A.12 B.9 C.6 D.4

简析由点A 的坐标是（-6，4）可知，Rt△OAB的面积为12，点D的坐标为（-3，2），所以k=-6，所以△OBC的面积为3，所以S△AOC=SRt△OAB-S△OBC=12-3=9.

例2如图6，反比例函数 y=（k≠0）的图像经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为_________.

图6

简析首先根据图像去判断k＜0，OC=CD可知CE为Rt△ODB的中位线，四边形BDCE的面积等于，所以k=-

说明例题1与例题2依旧沿用热身训练的思路与方法，但问题中涉及三角形的个数有所增加，用到与三角形相关的一些性质，难度逐步提升.

例3如图7，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，D斜边AC边上的中点，连接BD并反向延长交y轴负半轴于E，双曲线（x＞0）的图像经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于_______.

图7

A.3 B.6 C.12 D.24

简析先根据函数图像判断k＞0，D是斜边AC边上的中点，BD=DC，进而根据角度关系判断Rt△ABC∽Rt△EOB，BO∶CB=EO∶AB，所以BO·AB=CB·EO，，所以k=12.

变式演练：如图8，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，AC边上有一点使得AD∶DC=1∶2，BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=（x＞0）的图像经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于_____.

图8

A.3 B.6 C.12 D.24

简析如图9，由点D向x轴作垂线交x轴于点M，构造与Rt△ABC相似的Rt△DBM，同样利用Rt△EOB∽Rt△DMB可以得出k值.

图9

说明例题2与变式演练，利用看似跟图像不太相关的三角形的面积来解决问题，跟三角形有关的线段比例问题，很容易让人联想到相似三角形，利用相似三角形边长成比例，容易得到线段长度乘积，使问题得到解决.

关于复习课中“微专题”构建的三点思考

（一）概念引领，设置体现核心知识的基础练习，注重学生基础过关

所谓一般概念（big ideas）指的是与核心概念和理论相关的研究问题的一般套路［2］.反比例函数这堂课的核心概念就是反比例函数定义，一般套路就是利用函数图像中面积与k值的关系来解决问题.学生回顾相关理论知识后，需要进行一定的练习来达到知识点重构的目的.课堂时间是一个不变量，在一定的时间获取更多的知识，需要学生不断探索提高复习效率的方法，所以在这个环节，教师一定要选择难度适中，能够体现本节课核心知识的练习题，使得大部分学生都能够过关.

（二）细节引领，设置难度合理分布的拔高练习，注重发展良好的思维品质

一节好的“微专题”复习课，训练的难度与广度一定是呈阶梯分布，当学生的学习热情逐步提高时，训练的难度可以适时提高，让学生感到一定的挑战性.同时，题后可适当设置一些变式演练.变式教学的使用，能够借助题目的变式照顾优等生和后进生，提高学生课堂互动的参与度［3］.

另外，任何数学知识的学习都离不开数学运算，数学运算是数学六大核心素养之一.重视运算的算理体现在解题的方方面面，运算的过程和结果也同样重要，所以“微专题”复习中，教师一定要重视学生的运算能力的培养.同时，在涉及函数、方程等代数方面的知识点时，不可避免地会出现许多代数式和几何符号，教师在规范学生解题格式上一定要有所要求.

（三）思想引领，设置题后总结环节，注重学生经验积累

数学思想方法是基于实践经验积累的一种升华，而实践经验又需要不断总结、归纳与提炼［4］.“微专题”复习课的构建，要注重梳理和体现知识脉络，突出本节课的理论依据，牢牢抓住问题的解决原理.此外，教师还需要及时进行题后的总结与错题的反思，理清典型问题的思路，总结典型问题的方法，抓住典型的错误进行分析，帮助学生积累经验，提高解决问题的能力.