初中数学动点问题的解法探究

● 云南省曲靖市罗平县腊山第一中学 李改生

在数学教学中，动点问题一直都是初中数学的一个重要内容，也是学生学习当中的难点，常常会出现在初中学业水平考试的压轴题当中。但其实，动点问题的解决有一定的技巧和方法，只要学生能够很好地理解动点问题的逻辑关系，并能掌握其解题思路和方法，就能很好地掌握这方面的知识，进而能在考试中灵活运用。接下来，笔者根据自身的教学经验来谈一谈初中数学动点问题的相关内容。

动点问题考查的是学生综合性的知识运用能力，这类问题的解题方法一般比较灵活，同时条件也比较多样化，对于学生的数学综合知识是很大的考验。动点问题对于学生的直觉能力以及对不同题型的分析能力要求很高，在学习过程中，教师只有帮助学生不断归纳总结，使学生洞察题目中的本质内容，才能够更好地解决这方面的难题。

一、动点问题中涉及的知识点

（一）数轴

刘艳萍老师在《动中求静，静中求解——初中数学动点问题探究》一文中指出，动点问题是要确定一个点的运动变化轨迹，而这个运动变化的轨迹，其实是要存在于一个标准当中的，因此，我们应先让学生理解“数轴”的定义，明确原点、正方向和单位长度三个要素。在数学的定义中，数轴是一条直线，是向两边无限延伸的，不受任何题目中所给出的相关线段长度的影响。有时学生在看到一个具体题目时，会受到直观图形的影响，造成对数轴的混乱理解，在这里我们必须要告诉学生，数轴上的原点以及单位长度的取值，要结合实际情况。学生只有理解了数轴空间的定义，才能更好地找到动点的变化轨迹。

（二）数形结合的思想

邹丽虹老师在《动中求静，静中求解——探究初中数学动点问题》一文中指出，在动点问题的解决过程中，数形结合是非常重要的。所谓数形结合，就是把抽象的数学语言用图形的方式表达出来，这样能够让知识整体的表达变得更加直观。在初中学业水平考试中，动点问题并不会以单独的形式存在，往往会与一次函数、反比例函数、三角函数、圆等知识叠加起来。而类似于一次函数、反比例函数这些知识点都与图象有很大的联系。描绘出图象，其实就是学生找到动点的关键要素所在。

（三）分类讨论的思想

动点问题的考查常常与存在性问题相结合，在质量检测中常以压轴题的方式呈现，多与分类讨论思想结合进行考查。由于动点问题是动态变化的，它往往是一个较复杂或不确定的问题，这就要求我们对这些问题进行分类讨论。所谓分类讨论思想，就是在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，最后使问题得到解决。在解决数学动点问题的过程中，我们要善于抓住问题中“变”与“不变”的量，扣住“不变”来应“万变”。

二、解决动点问题的策略

（一）学会分析动点问题的本质

连光铭老师在《关于初中数学动点问题的解题策略分析》 一文中指出，对于动点问题而言，在解决时要让学生用运动和变化的眼光去观察和研究，挖掘运动的轨迹和变化的全过程，认识其考点的本质。因此，为提高动点问题解决质量，找出运动轨迹是关键，也就是说，在教学解决动点问题时，教师可以以动制静，动静结合，通过观察、分析、概括运动变化走势，在解析题意的同时，引导学生分析考点本质，促使其进行问题推理，寻找其中的运动规律，找到解题思路。

（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；

（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时，求MP的长；

（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；

（4）在点P处设计并安装一扫描器，按照定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒，若AK=，请直接写出点K被扫描到的总时长。

在解决这一问题时，教师要引导学生，通过阅读及观察图形等方法，明确此题考查的是三角形动态问题的分析，所以在解析此题时，寻找运动规律非常关键，根据此题所考内容以及题意，可以得到P点运动分为两段，教师可以引导学生建立A字和8字两种不同模型求解。

通过题意基本解析，根据问题进行逐步求解分析，第一问，属于基本条件的扩充，在求解时可以利用三角函数值的定义求解；对于第二问，由“PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分”这一句话，便可以引导学生根据“相似比的平方等于面积比”进行求解，通过寻找线段等量关系进行求解分析；对于第三问，可以引导学生利用相似比、等积法和三角函数定义，判断点到线段的距离进行求解；第四问，求的是K被扫描的总时长，那就要让学生理解在什么情况下K会被扫描到，使其确定定点被扫描的区域和点P的位置关系，当点P在BM上运动时，由于点P在M点开始运动，且PQ//BC，当AP=AK=时，就会被扫描到，当点P从点B运动时，∠APQ的范围会变化，CQ长度大于CK长度时便不会被扫描到。在分析动点的基础上求静，引导其结合问题思考本质，利用两种模型A字和8字形等模型进行求解。通过分析动点问题本质，由动点问题探寻数学考查方向和知识点，让学生在知识整合的过程中，利用相应解题模型进行问题求解，能提高学生的数学逻辑推理能力。

（二）尝试建立动点等量关系

在初中数学教学中，函数是教学的重点之一，也是数学检测的一个难点，对于有关函数中的动点问题而言，在学习探索时，教师要根据函数图形的性质，建立等量关系，静中求动，在关系筹建的过程中，推测运动本质，拓展问题解决思路。

例如：小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿着箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒，他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程，设小翔跑步时间为t，单位为秒，他与教练间的距离为y米，表示y与t的函数关系图象大致如图2，则这个固定的位置可能是图1中的（ ）

A.点M B.点N C.点P D.点Q

图1

图2

此题虽然为选择题，但要想正确作出解答，就要让学生结合图形判断，通过建立动点等量关系，在一一排除的过程中，解决问题。如：答案A在点M的位置，则从A至B这段时间，弧AB上每一点与点M的距离相等，即y不会随着时间的变化而变化，与函数图形不符合，动点等量关系建立失误，因此，选项错误；选项B，假设在点N的位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，动点等量关系建立失败，选项错误；答案C，在点P的位置，则PC最短，大小应该相同，与函数图象不符，动点等量关系建立失败，选项错误；答案D，在点Q的位置，如图示：

以Q为圆心，QA为半径画圆交弧AB于点E，其中y最大的点是AE的中垂线与弧AB的交点H；在弧AB上，从点E到点C上，y逐渐减小；而QB=QC，即yB= yC，且BC的中垂线QN与BC的交点F是y的最小值点，经过判断点Q符合函数图象，动点关系建立，选项正确。通过动点等量关系的建立，在认识其规律的过程中，学生根据动点位置与函数图形的变化，在性质探索的过程中推测运动本质，加深了学生对动点问题的理解。

在解决这一问题时，教师首先要引导学生读懂y和t分别表示什么，然后探寻y随t的变化规律。其次，要充分利用已知条件中矩形的性质找到相等关系，从而建立等式。同时，认真分析出运动中“不变”的点，让运动的点静下来，再对所给选项逐一验证排除，结合函数图象和性质，便能找到本题的答案，进而使问题得以解决。

(三)渗透数形结合思想

在动点问题解析过程中，数形结合思想的运用非常关键，它可以帮助学生认识运动之后的变化，打破思维局限，也可以在数形对应的过程中，促使问题化抽象为形象，提高问题解决效率。因此，在教学解析动点问题时，教师要渗透数形结合思想，在对动的探索中，寻找静止的规律，培养学生的解题技巧，提高其对动点问题的认识。

例如：将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上（点P不于点O、B重合），求：

（1） 如图3所示，当OP=1时，求点P的坐标。

图3

（2）折叠该纸片，使得折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相较于点Q且OQ=OP，点O的对应点O＇，设OP=t，思考：如图4，若折叠后△O＇PQ与△OAB重叠部分为四边形，O＇P，O＇Q分别与边AB相交于点C，D，用含有t的式子表示O＇D的长，直接写出t的取值范围。

图4

（3）若折叠后△O＇PQ与△OAB重叠部分面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围。（直接写出结果即可）

这一问题是有关平面直角坐标系的问题，学生根据所学有关平面直角坐标系相关数学知识点，可以得到此题考查的内容为：平移、旋转、折叠、翻转等有关运动的问题，在问题（2）中已经明确得到考查内容为折叠动点问题。那么，在分析时，可以得到点P为此题的动点，也是解题的关键，因此，可以将数形结合作为辅助，根据折叠相关性质，得到△O＇PQ≌△OPQ，所以得到O＇P=OP，O＇P=OQ，然后可以求证四边形OQO＇P为菱形，根据A点坐标等，求解O＇D 的长，成功解决t的取值范围为＜t＜2。

在解决这一问题时，第（1）问可根据点的坐标的求法，结合解直角三角形的知识及直角三角形的性质，求出其坐标为。在解决第（2）问时，要利用A点的坐标及四边形OQO＇P为菱形的性质，得到∠DQA=30°,利用直角三角形性质可以解决此问。解决第3问时要利用动中求静，抓住点O＇的位置不同，构成图形不同，分为它在AB上和不在AB上两种情况，在AB上时是一个三角形，可求出面积；当它不在AB上时，即＜t＜2时，重叠部分是四边形，此时，S与t的关系构成一个二次函数，有最大值；求出当t=3时S的值后再与前面的条件结合即可求出S的范围。我们要借助数形结合思想，在观察图形的过程中，结合折叠性质，分析动点运动后所形成的一般结论，应用该结论解决问题，让学生精准查找问题的解决思路，从而促使动点问题转化为一般几何问题，在化繁为简中提高问题解决能力。

（四）渗透动中求静思维方法

在解决许多动点问题时，我们需要学会转化思想。当下，与运动变化相关的题目是学业水平测试压轴题的常考题型，综合性较强。如果学生在日常的学习中经常练习运动变化类试题，并潜移默化地掌握“动中取静”思想，不断迁移，这样就能做到以“静”制“动”，从而达到解决动点问题的目的。

下面我们来看一道典型的例题，从中了解解决动点问题的方法。如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（ k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（-2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是线段AP的中点，若OQ长的最大值为，则k的值为_____。

原图

解析图

这是一道涉及圆、函数、三角形等知识的动点综合性问题，由题意可知P点是一个动点，其运动轨迹是一个圆。在解决此问题时，我们要善于找到其中不变的量，充分利用不变的量，做到以“静”制“动”。如果深入思考，由于反比例函数的图象是具有对称性的双曲线，我们不难发现，O为线段AB的中点，加之P无论如何运动，Q始终是AP的中点，于是可以得到线段OQ是△PAB的中位线，利用中位线定理可以得到：OQ∥PB且OQ=PB，找到不变的量，当OQ最大时，也就是PB最大。于是题目中已知OQ的最大值就转化为PB的最大值。所以连接PB，当PB经过圆心C时，PB的长最大，最大值为3，又由已知条件CP=1，易知BC=2。要求k的值，关键求A或B的坐标，此时可以过 点B作BD⊥x轴 于D，设B（m,2m），则CD=m-（-2）=m+2，BD=-2m，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，22=（m+2）2+（-2m）2，解得m=0（舍）或m=，所以B，代入反比例函数可求出k的值为。

在解决本题时，教师要先引导学生抓住Q为AP中点，再结合反比例函数的对称性可以发现O是AB的中点，进而推出线段OQ是△APB的中位线，这是最关键的一点。根据三角形中位线定理可知道OQ=PB，那么，OQ 的最大值就转化为PB的最大值。再根据点圆关系确定PB最长时点B的坐标后即可求出k的值。

通过此题的方法分析，我们发现，在解决动点问题时，我们要动静结合，善于找到题中不变的量，注重整体把握，强化迁移，做到以“静”制“动”，从而使问题得以解决。

（五）渗透分类讨论思想方法

动点问题的设置常常体现动点、分类和存在性三个特征。解决此类问题，要求学生不仅要有扎实的基础知识和解题的基本方法，更要求学生具有严谨的数学逻辑思维，需要其用运动和变化的眼光去审视数学问题，真正做到以“不变”应“万变”，学会用发展的眼光看待每一个数学问题，从中找到研究和解决数学问题的有效策略，进而解决问题。下面我们来看一道例题，重在分析第（2）问，从中感悟解决动点问题的方法。

（1）求c的值；

（2）直接写出T的值；

这是一道综合题，考查的知识点较多，综合性强，构思巧妙，设置具有一定的梯度。涉及待定系数法、三角形的面积公式、分式化简、配方法等内容，与高中的学习有较好的衔接。第（1）问可直接将（0，2）代入求出即可，较为基础。第（3）问难度较大，考查学生的综合运算能力，可以用整体代入的方法求出其值为，也可以用求代数式倒数的方法求出其值，方法较多，较为灵活，现不作解析。本题我们重点对第（2）问进行分析，其实在第（2）问中，M是抛物线上的一个动点，解决此问实质是在解决一个动点问题。由题意及第（1）问知抛物线的解析式为，此时可以求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，从而求出线段AB的长度，但运算量有点大。细看此问，我们不需要求出线段AB的长，因为线段AB的长是一个定值，是一个“不变”的量，△ABM的面积可以以AB为底边，要使△ABM的面积是一个常数，且与抛物线有三个交点，可以借助图形帮助理解，做到数形结合。由于面积和底边是一个不变的量，所以底边AB上的高不变，即M到AB的距离相等。认真分析，不难发现，这个点分为在x轴的上方和下方两种情况，用到分类讨论的思想方法，又因为抛物线具有对称性，可以知道此点在上方时不可能同时在抛物线顶点的上方或下方，一旦在下方，就会出现四个，不符合题意。由此可见，点M在x轴上方时只可能是抛物线的顶点，由顶点坐标可以求出AB边上的高，易求出顶点坐标为，也就是顶点纵坐标的绝对值为，再由对称性知在轴下方的点的纵坐标是，所以它们的和为，即T的值是。此问出题新颖，与平时问法不同，平时是已知面积求点的坐标，而本问是给出点的个数求点纵坐标的和。

在解决本题第（2）问时，教师要帮助学生充分利用分类讨论的思想，在“不变”中求“变”。抓住线段AB的长不变，而M是抛物线上一个动点，要使S=m(m＞0)的点恰好有3个，那么，这个点到AB距离是一个定值，结合函数图象的对称性进行分类讨论，可以找到这样的点。在解决此问时，方法灵活，要以“不变”应“万变”，同时，要用全面的眼光来看问题，进而使数学动点问题得以解决。

总之，在初中数学动点问题教学解析中，要想提高学生解决问题的能力，就要帮助学生寻找动点问题的规律，认识动点问题所涉及的知识点，然后通过对知识本质的探寻，在动点分析的过程中，寻找解题思路。通过动点问题本质分析、动点等量关系建立、数形结合思想渗透等方法，使学生学会动静结合，以静制动，动中取静。