让正确生长在差错中

看到这个题目，老朋友们可能会想到我的那篇文章《错着、错着、错着，就对了》。那是写我在生活中让差错多飞一会儿的故事。今天，和您分享我在课堂上，与四年级学生一起学习“角的度量”的故事。

一、学中生长

上课伊始，课件上出示第一个坡度小的滑梯，如图1之一。我问：“玩过吗？”学生们喜笑颜开：“玩过。”我笑着说：“地球人都玩过。”

再出示第二个坡度稍大的滑梯，我问：“想玩哪个？” 学生们异口同声：“第二个。”

当我出示第三个坡度大的滑梯，还没问，学生们都笑了。我装着莫名其妙：“为什么笑？”常常是男孩抢着回答：“太刺激啦！”我接着说：“刺激完了，就麻烦啦！第三个滑梯不能玩，第一个滑梯不好玩。请问，这三个滑梯不同在哪儿？”

学生们七嘴八舌：“有高有矮。”“有胖有瘦。”“有的太斜了。”“角度不同。”

我夸赞道：“佩服，佩服！有一双数学的眼睛。”课件隐去滑梯，只留下三个角。停顿三秒后，我说：“第一个角太小了，第三个角太大了，第二个角正好。那滑梯的角，多大才合适呢？这就需要量角了。怎么量角呢？”学生们用出谋划策的语气说：“用量角器。”因为前一天布置購买量角器的作业了。

我问：“会量吗？”学生们自信十足：“会！”“行，请同学们量量这个角有多大。”我下发画有角的练习纸。

巡视之后，我请一名学生投影展示，如图2。

台下，会量的学生着急地说：“错了，错了。”展示的学生有些局促不安，抬头看看发声的同学，再转过头来看看我，眼睛里写的是：“我可以回座位吗？”

我双手扶着展示学生的肩，引导全班同学响起四次掌声。

我说：“还没学，不会量很正常，但敢于尝试值得表扬。第一，我提议大家为这样敢于尝试的精神鼓掌！（我带头鼓掌，学生们响应）第二，以前我们量长度的时候，就是这样从0开始的。这一点他做得非常棒！（同学们自发的热烈的掌声响起）第三，他这样量角，非常不简单，他告诉我和很多数学老师都不知道的一个道理，量角就是用量角器上的角重合在要量的角上！（我双手举到头上鼓掌，教室里掌声一片。展示的学生在起劲的鼓掌中自豪地回到自己的座位）第四，孩子们，坏的差错会提出好的问题，他提出了一个好的问题—我们在量角器上能找到角吗？掌声再次感谢他给我们带来的好问题！” 热情的掌声里，展示的学生热泪盈眶。

我拿出教具大量角器，指着尖角，问：“这是一个角吗？认为是角的，请举手。有几位，大部分同学不同意，为什么？” 一名学生指着量角器的圆弧，说：“这条边不是直的。” 全班学生频频点头。

“量角器上的角到底在哪儿？能不能在纸量角器上画出一个90度的角？”我一边说，一边发纸量角器。画90度的角，全班全对。我问：“这个90度角的顶点在哪儿？知道这个点叫什么点吗？对，叫中心点……”然后再让学生先后画出60度、1度、157度的角，最后让学生举着量角器，看看能看出什么。学生说完后，我承上启下地说：“量角器上有若干个大小不同的角，怎么用它量角呢？对，重合在要量的角上。”

而后，请学生量了各种开口方向的角和滑梯的角。

……

全课总结的最后，我问：“角的度量是很难学的一节课，今天同学们学得特别棒，请问，是谁启发了我们？”全班同学都看着开始展示的学生，先是有几声鼓掌，后是潮水般的掌声。展示的学生站起身、鞠躬……

朋友，如果您想看完整的教学实录，请翻阅《人民教育》2007年第2期《让学习像呼吸一样自然》。

二、备中生成

这节在全国小学数学界引起强烈反响的课，是怎么备出来的呢？

2005年，北京师范大学，全国各省（市）数学教研员培训会上，我介绍了与自己的学生一起探究“角的度量”的故事，引起了与会者的强烈兴趣。

为了让学生创造出“小角量大角”的方法、经历角的度量单位的产生、感受统一单位的必要、理解量角器的结构，我提出了如何比较两个角大小的问题。一个角35度，边画得短一些；另一个角30度，边画得长一点。看上去，两个角难分伯仲。我准备了若干个10度和5度的“小角”，秘而不露。

大部分学生都想到重合的方法，哪知道一名学生说，他可以用直尺量出来。用直尺怎么能比较出角的大小呢？我请学生展示。学生在实物投影仪上，先用直尺在第一个角的两边分别量出2厘米，角的顶点是起点，边上各点上一个端点，然后量出这两个端点间的距离是1.2厘米。同样地，他在第二个角上，量出两个端点间的距离是1厘米。最后，他说第一个角大。出乎意料，我和同学们热烈鼓掌……

会后，刘坚教授跟我说：“在郑州，有一场全国小学数学骨干教师培训，请您现场执教这节课，好不好？”我爽快答应。如果说现在的我在全国小学数学界有一定的影响力，那很大程度上是由于刘坚教授多次给我这样的任务。

继续备课阶段，我犯愁了。郑州的学生情况如何？“橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳。”我决不能将在北京上课的这一套照搬到郑州。“角的度量”这节课很难上，我能不能上出一节让学生们都感到好玩的数学课？我能不能上出一节让老师们都能借鉴的数学课？我决定重新备课。

我思考：①我们让学生量了各种各样的角，学生感受到了量角的用处吗？量角的大小是“屠龙之技”，还是生活中必不可少的技能？②“角的度量”一课教学的难点是什么？为什么会有这样的难点？量角器的结构很复杂，量角之前先要认识量角器，那认识量角器的什么呢？怎么认识量角器？关于量角的技能，以往教学中简要概括出了“二合一看”“0度刻度线在左边看外圈，0度刻度线在右边看内圈”等话语，为什么学生还是不会量角？③教学有三个层次：教知识，教方法，教思想。以前我们只是教了量角的知识和技能，那么这一节课可以给学生什么方法和思想的提升呢？

为了有一个好的话题情境，我搜寻生活中的角，发觉生活中的角，地板、家具、生活用品上的角都不需要测量，因为大多数的角是直角。

我想到了2002年，我讲三年级的“分数的初步认识”，成功创设了大头儿子、小头爸爸用领带测量床长的情境。于是，轻车熟路，创设动画：小头爸爸在商场，要为家中厨房窗户上配玻璃，可是忘记量尺寸。门上的窗户是扇形的，大头儿子该怎么测量呢？电话中又怎么告诉小头爸爸呢？要量半径，正好复习测量长度的方法。还要量圆心角，也就是要学的角的度量。

我挺兴奋地与刘坚教授交流，哪知道他说：“您设计得真巧妙！不过，我不主张用这个情境。”我问为什么，他说：“您知道您的影响力吗？老师们听课之后会说，这么巧妙的情境只有华应龙老师才能设计出来，不利于大家开发出好的情境。”我点头称是。

有一天，我躺在床上，发现衣柜里衣领的角是千差万别的，我又兴奋起来。生活中不是沒有锐角或钝角，而是需要抽象，需要拥有一双数学的眼睛。进而，我发现牙刷上也有非常讲究的角，椅子靠背向后倾斜一定的角……

过了几天，半夜起床看足球赛。看完之后，似睡非睡间，迷迷糊糊地，我想到了滑梯。如果滑梯的坡度太大或太小，都不合适。这个情境既简捷又有趣，学生们熟悉，还能引发学习需求。刘坚教授听说后，十分满意。

“角的度量”一课教学的难点是什么？是量角器复杂的结构带来的？为什么学生没学之前，十有八九总是如图2所示的量法？我习惯性地去找这样量的正确之处。恍然大悟：量角的本质不就是重合吗？十分感谢学生的差错点醒了我。我寻求的第三个问题“方法和思想的提升”，也有了答案，那就是—重合。

如果不是半圆形量角器，而是直角扇形量角器，学生从头开始量，就不会有错了。原来，我教了20多年的数学，量角器的认识都没有教对。只带学生认识了中心点、零度刻度线和两圈刻度，没有教学生认识量角器上的角在哪儿，我犯了“只见树木，不见森林”的错。

我决定“冒天下之大不韪”，带着学生在量角之前，先画角。不管哪个版本的教材，都是先量角，后画角。现在先让学生在量角器上画角，其实就是认识量角器上的角。

我用水彩笔在量角器上一画，不行，根本留不下痕迹。试了几种笔，都不行。我去西单商场文具柜台，请教售货员。售货员说：“油画笔就行。”一试，特别清晰。我心满意足地买了50支油画笔。

在郑州的示范教学非常成功。听课老师们把双手举过头顶为学生们鼓掌的回忆，让我继续改进：老师们买不上油画笔，就没法借鉴我的教法，怎么办？在量角器上，用牙签摆角？1度的角没法摆。

一个周日的上午，我在办公室加班，当时的办公室里有复印机。工作的间隙，鬼使神差，我打开复印机，铺上四个量角器，合上盖子，一摁，出来了纸量角器。纸量角器的诞生，为学生画角带来了便利。

三、悟中生根

如此的教学，化错养正，将错误的尝试最终引导向正确的结果，这正是化错教育的魅力所在。学生真切感受到的是“失败是成功之母”，成功真是失败生出来的。下次再面对失败、面对差错时，他的心态是会不一样的。

朋友，看到这里，您是不是想到—功不唐捐，一切都是最好的安排？您是不是想到—艰难困苦，玉汝于成？

不论是课堂中的学习进程，还是备课中的心路历程，如果说最后呈现的是正确的，那么之前的就是有差错的。是错了，但只差一点，不然就对了。为了突出“差一点就对”的错，我一般用“差错”，而不用“错误”。差错中都有正确的因子，坚持正确的方向，向前走，就会走出差错，走向诗和远方。

朋友，如果您“山重水复疑无路”，如果您感觉到了地狱，千万别停下来，请继续向前走，正确就在差错中生长。管子说：“思之，思之，又重思之。思之而不通，鬼神将通之。非鬼神之力也，精诚之极也。”用大家都熟悉的话来说，那就是“愚者千虑，必有一得”。

与您共勉！

（作者单位：北京第二实验小学）

责任编辑：胡玉敏