基于缺失数据下混合Pareto分布参数的估计

徐圣楠，张桂颖，刘洋萍

在统计学中，由于Pareto 分布具有递减的失效率函数，故能较好地描述股票价格和微信流量波动.文献［1］通过实证分析验证了广义Pareto 分布能够较好地刻画保险公司每年的最大索赔损失金额；文献［2-3］分别通过贝叶斯和极大似然估计法研究了Pareto 分布的参数估计问题.数据缺失是统计工作中的常见问题，文献［4-7］分别研究了两种离散型和连续型分布总体的估计问题；文献［8］利用MLE 算法研究了在丢失部分样本数据时Pareto分布的参数估计问题.本文以高等数理统计学为理论基础，进一步分析缺失数据下混合Pareto 分布总体的参数估计问题，通过建立矩估计方程组，解出未知参数的估计值.然后，验证估计量是否具有相合性和渐近正态性.最后，对估计结果进行随机模拟，说明估计的可行性.

1 矩估计及其渐近性质

假设混合Pareto 分布，其密度函数为：

其中：设定门限参数α> 0.其次，分别取形状参数θi> 0（i=1，2）为总体的未知参数.然后，对两个混合Pareto 分布进行n次独立观测，抽取分布总体做样本观测时，记1-P为丢失样本时的概率.最后，用(Xi,δi)表示混合Pareto 分布的第i个总体观测值，Xi表示该分布总体的第i个样本观测值，i=1,2,…,n.若缺少第i个样本值记δi=0，反之记δi=1.

下面考虑θ1,θ2的矩估计.根据得到的样本观测值(Xi,δi)，i=1,2,…,n，建立矩估计方程

解方程得

其中：

由上述参数的矩估计结果，下面验证，的相合性和渐近正态性.

证明{Xiδi,1

并且

即

同理得到

于是有

其中：

引理1［9］记Tn=(T1n,T2n,…,Tkn)T,α=(α1,α2,…,αk)T，设∑=(δij)k×k，又设g(t1,t2,…,tk)对各ti有连续偏导数，则当n→∞时，有

其中：δ2=

定理2 在前面记号，有

证明 令Wi=(δi,δiXi,δiXi2)T，{Wi,i≥1}为独立同分布随机变量序列，从而

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是利用多元中心极限定理得到

令

于是得出

根据引理1

同时

同理，令

依据引理1

其中

其中：

2 模拟研究

使用MATLAB 软件进行随机模拟，验证此方法的可行性.设定门限参数α=2，混合概率q=0.4，分别给定样本量n=100，n=300，n=500，缺失概率为1-P=0.01 的模拟研究结果如表1所示.

从表1可以看出，当数据不完整时，混合Pareto 分布的参数估计量具有渐近正态性.在给定θ1、θ2不同参数真值时，进行1 000 次随机模拟比较两参数的均方误差，得到参数估计的误差值不受样本量大小的影响，并且和的均方误差都在可接受范围内，再次验证矩估计方法具有可行性.

表1 模拟结果

3 结语

针对数据不完整情况下的混合Pareto 分布总体参数估计问题，目前还很少有人研究.本文利用ME 算法证明了其优良性，同时随机模拟的结果也验证了其合理性.通过对本文的研究，为今后应用Pareto 分布的相关性质做了准备.