职业院校数学建模课程建设的实践探索*——以镇江高等职业技术学校为例

黄 磊 王 燕 张 立

《中等职业学校数学课程标准》指出，数学建模属于六大学科核心素养之一；并作出如下界定：数学建模是将现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。充分发挥数学建模的作用，帮助学生掌握数学建模能力，有助于数学核心素养的形成。［1］

开展数学建模课程建设的研究是职校数学教育改革的发展趋势。职校数学建模课程的设计与实施应在注重培养学生良好数学素养的同时，着力于学生未来就业所需要的数学应用意识、能力养成和专业基础知识积累。课程内容应贴合专业的情境案例，能够满足不同专业学生的实际需求，以突出数学课程作为公共基础课程的重要地位。

镇江高等职业技术学校（以下简称“我校”）数学教研组自2018 年起启动校本数学建模课程项目，初始作为校公选课程，面向全校学生开设。自2020 年《中等职业学校数学课程标准》颁布后，我校依据标准、明确规范，改革课程框架、模式与内容；结合专业凸显类型教育，强化价值引领，落实立德树人，彰显课程思政。在此基础上，课程建设取得了一定成果，形成了较为完善且不断丰富的数学建模线上线下课程资源与案例集。

一、课程的设计与架构指向“以生为本”

依托原有校本建模课程，我校紧扣《中等职业学校数学课程标准》要求和专业实际，开发并实施了实用、易学、有趣的专题课程，注重体现职业特色，着力培养学生数学综合应用能力和职业发展力。

（一）情境化、递进式的专题设计

依据课标要求，聚焦学生数学建模、数据分析、逻辑推理、数学抽象等核心素养的培养，我校将课程内容整合为走进数学建模、函数模型、立体几何模型、概率统计模型、线性规划模型、数列模型，情境设计由简单到复杂，应用由生活入专业，循序渐进，进阶提升。

初阶为生活、专业实例中简化出的理想案例，如函数模型中创设了经过优化的理财问题情境：有闲置资金100 万，银行提供三种理财方案，请同学们判断哪一种方案收益最高。教师引导学生初步尝试用建模的方法解决实际问题。显然，初阶从学生易于接受的理想化的理财情境入手，让学生学方法、打基础。进阶尝试解决给定数据的实际工作情境问题，如某企业根据销量制订采购计划，并估算不同的销量分别需要多少广告投入。教师教会学生处理数据并进行初步简化，而后利用建模方法解决问题。如此进阶的设计，与初阶问题相比多了处理数据的过程，能有效促进学生对数学建模整体过程、方法的理解和掌握。此外，更接近现实工作的情况使学生感受到数学知识和方法的实用性。高阶则通过团队合作完成真实的工作任务，如预测2022 年学校创业园中菜鸟驿站的快递收发情况。与进阶任务相比又多了收集现实数据的过程，学生要通过查资料收集菜鸟驿站历年来的真实数据，而后进行数据的处理和优化，利用已有的数学知识和建模方法进行预测。高阶任务的设计完全依托真实的工作环境，对学生的认知能力要求更高。从初阶到高阶，从生活到专业，培养了学生数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，更提升了学生的沟通合作能力、分析概括能力、综合应用能力等。

（二）应用问题导向的探究式教学模式

课程教学采用问题导向的探究式教学模式，以实际问题解决为出发点和主线，启发学生不断思考，探究解决问题的方法，提高解决问题的能力。日常教学中，在积极创设不同形式的生活或者职业情境的基础上，用有联系有层次的问题帮助学生打破难度壁垒，搭建认知脚手架，让学生在问题解决的过程中，找到抽象与方法、现实与理想的桥梁。而后，教师进一步鼓励和引导学生主动去发现、分析和解决问题，让数学知识在探究活动中得以加深和内化，帮助学生发展数学思维，以强化数学知识的迁移、应用能力。问题导向的探究教学模式，从理解问题到分析问题再到解决问题，均是在问题串的引导下，由教师和学生共同探究完成。

（三）以“问题解决”为主线，实施“三阶段五环节”教学流程

基于问题导向的探究式教学模式，遵循数学建模课程学习规律，结合学情与目标，组织教学流程，包括问题准备、问题解决及活动评价三个阶段。问题准备指确定建模课题，围绕真实生活、专业情境进行课题设计；问题解决阶段包含教师活动和学生活动，包括建立模型、求解结果、分析检验三个环节；活动评价阶段包括对整个活动过程和活动设计的评价，学校应尝试从多个评价角度出发，兼顾教师和学生的反馈评价。［2］实施过程着力培养学生解决实际问题的能力，并基于学科核心素养培养学生的综合素质。教学中重视数学思想方法的应用，增强学生数学学习的体验。

在此教学流程中，数学建模的各个专题均是建立在问题准备、问题解决、活动评价三个阶段的基础上，经历分析问题、建立模型、求解结果、分析检验、多元评价的过程。学生在自主探究的过程中，根据教师的要求或者小组讨论结果确定选题—整理资料—建立模型—形成方案—展示成果，在建立和求解模型过程中又按照模型准备、模型假设等五环节来完成，由此形成数学建模课程中的“三阶段五环节”的教学流程（如图1所示）。

图1 “三阶段五环节 ”教学流程

二、课程的侧重与特色彰显职教属性

（一）源于生活与专业的真实情境

课程在情境案例选择上，设置与职业生涯密切相关的教学内容（如在电子商务专业中采用求职规划、商品定价、销售策划案例等）并注重与专业课程衔接，有机融入职业道德、职业精神教育。学生通过建模活动，小组协同解决专业对应岗位上要面临的实际问题，在应用数学的过程中体会职校数学作为公共基础课程的职业性。

（二）信息技术资源与教学深度融合，构建高效课堂

教师借助泛雅平台建设数学建模课程。平台课程资源包括各类音视频资源，如微课、情景动画、科普短片等；包含知识点素材，有课前任务单、问题思考与提示、预备知识等；有多种形式的课后分层作业。学生可根据自己的水平、兴趣等选择合适的主题或任务开展研究，并将成果、问题、想法等上传至学习平台，教师进行线上指导、反馈、评价。

信息化手段可以充分辅助课堂教学。如在函数模型中，不同类型函数间的计算复杂，学生无法完成，但利用Geogebra 绘制函数图像进行比较，结果就显而易见。立体几何建模课中，学生利用玛雅软件进行包装设计、观察三视图、计算表面积、设置内隔板等。学生通过资源与软件的运用，顺利化解复杂立体结构的计算难点。

教师应在课程实施过程中及时采集各类学习数据，为评价提供依据。平台根据学生观看学习视频的次数和时间，以及评论的次数、热点、作业完成的精选次数进行记录，对客观题的答题情况进行评分，对教师的评分和评价进行记录，汇总形成成长档案，为综合评价提供依据。

（三）以过程性评价为主的多元评价，关注能力提升

数学建模课程评价具有典型的综合化特征，具体表现为指标多维、方式多样、主体多元。其中，从指标设计层面来看，一方面比较看重数学建模的基础知识、能力等，另一方面比较看重情感、态度等目标，旨在促进学生全面发展。从评价方式层面来看，主要有软性评价、硬性评价等，其中，前者主要以“数学建模手册”为出发点，立足创新性、有效性等方面展开过程评价；后者主要评价的是成绩，包括教师评价和学生自评与互评。评价贯穿学生数学知识的构建过程与问题的解决过程，重点关注能力的获得与提高。

（四）蕴含数学文化、思想与精神，课程“德智交融”

数学建模课程由多种文化要素构成，包括数学思想方法、审美等。建模过程即立足数学视角去看待问题，借助数学思想去分析问题，选择适用的数学方法去处理问题。值得强调的是，过程中对严谨求真的意志品质的追求，对数学方法美、理性美、和谐美的切实体会，对数学知识本身的应用，都彰显数学学科育德育人特质。［3］课程通过选取有深度的社会热点问题，精心设计情境进行课程思政。比如环境保护问题，教师结合国家碳达峰、碳中和的战略决策，激发学生的民族自豪感与国家认同感，使学生感受大国担当，同时提升其环保意识。

三、课程的改革与创新注重应用能力

（一）构建“生活经验+专业应用X”特色课程

职业教育突出专业技术知识和实际操作技能的培养和提高，在教育内容上更侧重实践性和应用性。职业教育中的数学课程是职业学校必修的公共基础课，因此具有基础性、发展性、应用性和职业性等特点。数学建模专题就属于职业学校数学课程中的任选模块，尤其注重数学应用于实践和专业的特性。为此，我校数学教研组通过精心搜集、整理、设计，从学生熟悉的生活情境中提炼数学问题。以电子商务专业为例，教师可以以理财、职业选择、环保等问题为切入点，并与其他专业教师协同教研，提炼对应岗位情境中的数学问题，如商品定价、商品销售、商品包装等。数学建模课程开发的初衷，面向的不仅仅是电子商务专业的学生，而是全体学生。课程入系部，衔接不同专业时，会调整活页教学资料与线上资源，增补专业情境案例，开设面向专业X 的数学建模专题，即“生活经验+专业应用X”。于是，学生通过对数学知识、思想方法、核心素养的综合应用，借助“生活经验+专业应用X”的情境问题，提升自身的应用和专业能力。活页式教学资料与教学过程中产生的大量生动具体的教学、学习资源，既能形成校本教研的课题和新的资源包，又能为专题课程的发展储能。

（二）基于STEAM理念的课例设计

STEAM 教学强调多学科融合“项目式学习”，即以完成某产品设计为目标，确保学生利用不同学科的知识，在动手实践的作用下，结合自身认知，持续获取新知识和新能力，进而实现“做中学”。总体来说，STEAM 教育理念和数学建模教学存在显著共性，即“做中学”，通过为学生创设情境，让学生产生兴趣，进而作出思考。［4］如立体几何模型课例中，就以中国陶瓷器设计、制作包装为任务，要求省料兼顾美观，任务聚焦的数学问题是怎样设计使得包装表面积最小。学生在完成任务的过程中，运用玛雅软件构建模型，以减少包装材料为目标，运用立体几何知识设计与调整，设计中既要融合中国元素提升美感，又要兼顾牢固实用。课例以“三阶段五环节”展开，引导学生将数学知识与其他学科知识联系起来，旨在培养和强化他们的发现、创新实践以及协同等能力。

（三）数学建模手册的运用

数学建模课程采用活页式教学资料与线上资源库，每个学生都配备数学建模手册。建模手册也是活页式的，以随时添加附件，包括解决问题的具体过程，思维痕迹等；手册中内容包括小组分工情况、本小组研究的问题、建模过程以及解决问题的方法、体会、反思和改进。每一个模型专题都有评价表和总结报告。评价表包括自评、小组互评和教师评价；总结报告则是每个小组对专题研究的过程分析与小结反思。总结报告运用汇报的交流形式，有助于学生使用规范的数学语言，准确、简洁地表达自己的观点。整本建模手册将伴随学生学习专题的全过程，记录问题解决的过程，积累做数学、学数学、用数学的经验，深化学生对数学及其价值的认识。

四、结语

在数学建模课程实施过程中，我们认识到一些问题和困难，主要有数学建模教学经验不足、契合专业的教学内容选择和组合难度较大、资源开发周期较漫长、学生学法不适应等。下一步，我们将一方面挖掘更多专业案例情境以面向更多不同专业、不同学习需求的学生；另一方面，通过学校立项的数字资源采购项目，继续丰富平台功能，完善评价路径，打造精品课程。同时，我们将继续研究如何更好地在教学组织方式、教学安排上渗透职业教育元素，并通过设置与职业生涯密切相关的教学内容，增加实践环节，注重与专业课程衔接配合等，在数学课程中有机融入职业道德、职业精神教育。