新教材“拓广探索”栏目函数题赏析

王 芳

(江苏省苏州市常熟市梅李高级中学 215500)

人教版《数学新教材》拓广探索栏目在习题方面的设置比较好，注重培养学生的探究、创新精神，关注相关知识的综合运用，能够较好地提高学生的综合素养.为此，现选取必修第一册第三章《函数的概念与性质》、第四章《指数函数与对数函数》中有关特色习题加以具体阐释，旨在帮助同学们深刻领悟教材习题设置的良苦用心，进一步提高解题能力.

1 考查多个对数比较大小

例1 (教材第141页拓广探索栏目第13题)比较下列各题中三个值的大小：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；

(2)log23,log34,log45.

即log0.26>log0.36.

同样，作差可得log0.36>log0.46.

所以log0.26>log0.36>log0.46.

同样，作商可得log0.46

所以log0.26>log0.36>log0.46.

于是，根据0<0.2<0.3<0.4<1，得

f(0.2)>f(0.3)>f(0.4).

即log0.26>log0.36>log0.46.

同样，可知log45

从而有log23>log34>log45.

评注本题设计较好，关注比较大小的各种常用方法在解题中的运用.常用一般结论：(1)设函数f(x)=logxN，其中N>0,x>0且x≠1，则当N>1时，函数f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上均单调递减；当01，则loga(a+1)>log(a+1)(a+2)>log(a+2)(a+3)>….

2 考查含参函数的性质

(1)探索函数f(x)的单调性；

(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？

具体证明过程如下：

易知函数f(x)的定义域为R.

任取x1,x2∈R，且设x1

因为2x1<2x2，2x1+1>0,2x2+1>0，

所以f(x1)

故存在实数a=1，使函数f(x)为奇函数.

评注关于函数的单调性、奇偶性，若进行判断，则利用外在结构特点即可；若进行证明，则必须根据函数的单调性、奇偶性的定义加以证明.处理是否存在型问题，往往需要先假设存在，再进行合情推理、分析.若得到矛盾，则表明不存在；若没有得到矛盾，就会得到存在的具体情形.

3 考查数学思想在函数问题中的应用

例3(教材第102页拓广探索栏目第13题)如图1，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数y=f(t)的解析式，并画出函数y=f(t)的图象.

图1 图2

综上，函数y=f(t)的图象如图2所示，

评注本题设计较好，侧重考查了数形结合思想、分类与整合思想在解题中的综合运用，同时也考查了分段函数的解析式与图象，显然能够较好地培养学生在直观想象以及数学运算方面的核心素养.

4 考查指数函数与归纳推理的交汇

(1)连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？

(2)连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？

5 考查函数图象的对称性与类比推理的交汇

例5 (教材第87页拓广探索栏目第13题)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.

(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.

解析(1)设函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心为点(a,b)，则函数y=f(x+a)-b为奇函数，即y=(x+a)3-3(x+a)2-b为奇函数.

根据奇函数的定义可得(-x+a)3-3(-x+a)2-b=-[(x+a)3-3(x+a)2-b]，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0对任意x∈R恒成立，从而可知6a-6=0，且2a3-6a2-2b=0，解得a=1,b=-2.

故所求函数图象的对称中心为点(1,-2).

(2)类比思维，可知推广结论为：函数y=f(x)的图象关于直线x=m成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)为偶函数.

总之，结合上述举例解析可知，人教版《数学新教材》拓广探索栏目在习题方面的设置是比较成功的，不仅关注习题本身的探索性、创新性、综合性，而且关注培养学生分析问题、解决问题的实际能力，能够较好地提高学生对所学知识、方法的综合运用能力，进而提升学生在直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算以及数学建模方面的核心素养.