一类圆锥曲线定点定值的代数本质

张海泉

(江苏省兴化中学 225700)

我们知道数学对象的本质特征可以有多种等价的表现形式,圆锥曲线中有着丰富多彩的几何性质,而这些几何性质可以通过坐标系将所研究的点、线等问题用变量x,y有序数组化,将几何问题归结为代数问题.通过代数推理与运算融合,转化为变量之间的“强相关”,将这些具有“强相关”的数与式翻译成几何结论,使得代数特征几何视觉化,从而呈现为圆锥曲线中定点、定值、定轨迹等问题.

图1

图2 图3

猜想1 这个定值是否是因为直线经过了焦点F的缘故？

探究1将几何问题代数化：

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

①

若PQ不垂直于x轴，设lPQ:y=k(x-1)，

3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0.

代入①，得

若PQ垂直于x轴，可验证同样成立(验证略).

试着探索这种“强相关”.

设x1+x2=A，x1x2+B,即

探究2 是否任意椭圆中都有这种强相关？

角度1 两边同时平方，得

②

当x1=x2时该式也成立.

这表明x1x2与x1+x2的线性“强相关”确实存在.

③

说明y1y2与x1+x2间也有着线性“强相关”.

y1(x2-m)=y2(x1-m).

展开后得x2y1-x1y2=m(y1-y2).

④

即x2y1-x1y2，x2y1+x1y2与y1+y2间也有着线性“强相关”.

于是利用这种强相关可推广到一般解法：

图4

解析若PQ不垂直于x轴，设lPQ:y=k(x-m),

由上述“强相关”②式得

若PQ垂直于x轴，可验证同样成立(验证略).

探究4如图5,直线PQ过定点M,说明P，Q两点必然有线性“强相关”,且A，B两点关于原点对称,所以AP,BQ两直线应该也有“强相关”,猜想这种“强相关”表现为AP,BQ的交点必具有某种特定属性.

图5

下面来探究这个交点G,

从教师的命题角度来看，这种利用变量之间“强相关”相消的方法可以以点带面扩充试题的教学功能，于是试着将定点拓展为定值问题.

图6

解析设Ax1,y1,Bx2,y2,易知F(1,0).

展开得x2y1-x1y2=y1-y2.

由上述强相关④式得

x1y2+x2y1=4y1+y2

故直线BM过定点(2,0).

经过初步对称性分析,不难知道定点一定在x轴上,所以只要求出直线BM的横截距即可,而横截距表达式中含有x1y2,x2y1.于是很自然想到y1±y2与x1y2±x2y1之间的“强相关”,进而用y1,y2线性表示出x1y2,x2y1,从而达到消元成定值的目的.从圆锥曲线的定义看,它本身的解析式就是“定点定值问题”,点在曲线上或某种特定曲线上运动时,相关变量存在着与曲线方程相关联的“强相关”,以坐标法的研究问题为主线,结合代数推理与运算,借助于这种“强相关”消元即可解决此类定点定值问题.