一道不等式证明题的多角度探究

岳 强

(广东省深圳市华侨城中学 518053)

现代数学教育强调数学核心素养的提升，数学解题能力在数学核心素养的提升方面至关重要.“一题多解”作为问题解法变式，是长期存活于中国本土文化土壤的中国数学教学的小策略，效果真实有效.下面我们通过探究一道不等式的多种证明方法，去感受百川到海、殊途同归的美妙.

1 试题呈现

设函数f(x)=ex，g(x)=lnx．

(1)若f(x)≥ax+1，求a的值；(a=1，解法略)

(2)证明：f(x)+x·g(x)>x(1+x)．

2 解法探究

解法1(构造函数找最值)构造函数

g(x)=ex+xlnx-x(1+x)，

则g′(x)=ex+lnx-2x.

再令h(x)=ex+lnx-2x，

所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增.

由g′(1)=e-2>0，

设其为x0，则有ex0+lnx0-2x0=0．

显然函数g(x)在x0取得最小值.

即g(x)≥g(x0)=ex0+x0lnx0-x0(1+x0)

=(1-x0)(x0-lnx0)．

即ex+xlnx>x(1+x)，不等式得证．

评注这种方法思路常规，但最不“省力”.直接构造函数，但是构造的函数g(x)极值点不易求得，要得到最值就要用到“设而不求”的思想，结合零点存在性定理得到原函数的最值表达，此策略通常被称为“零点虚设”，这是解决不等式的一种重要方法．

解法2 (“对数单身狗”分离对数)将原不等式两边同时除以x，只需证

由ex≥x+1>x知，函数f(x)在x=1处取得最小值且f(1)=e-2>0.

所以f(x)>0.

即ex+xlnx>x(1+x)，不等式得证．

评注在证明含对数函数的不等式时，将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次求导就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象地称之为“对数单身狗”．

解法3(“指数找朋友”结合指数)原不等式变形为ex>x(1+x)-xlnx，只需证

所以f(x)<1，不等式得证．

评注在证明含指数函数的不等式时，将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次求导就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象地称之为“指数找朋友”．

即ex>x2-xlnx+x，不等式得证．

A. (-∞,1-e] B. (-∞,-3]

C. (-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

即证ex-x2-1>0．

令g(x)=ex-x2-1(x≥0)，

g′(x)=ex-2x，

再令h(x)=ex-2x，

则h′(x)=ex-2，令h′(x)=0,

解得g′(x)在x=ln2处取极(最)小值.

即g′(x)≥g′(ln2)=2-2ln2>0.

所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增.

则当x>0时，g(x)=ex-x2-1>g(0)=0.

所以ex+xlnx>x(1+x)，不等式得征．

评注对于“切线不等式”及其变式的运用，可以给我们证明不等式提供一些有效的思路，尤其是含有lnx或ex的超越函数不等式证明，在解决具体问题时应根据这两类函数的特点及结构特征，对不等式实施灵活变形，找到突破口．

拓展2(2021年深圳市南山区高二期末质检)已知定义在R上的函数f(x)=ex-ax(a∈R)．(其中e是自然对数的底数)

(1)求f(x)的极值；(解答略)

利用“指数找朋友”，构造函数

故g(x)在[0,+∞)上单调递减.

所以当x>0时，g(x)

不等式得证．

通过近几年的高考试题分析，不等式与导数相结合的综合问题既是考查的热点，也是重点．此类问题综合性较强，融合了函数、导数、不等式等高中数学主干知识为一体，能有效考查综合解题能力．除了涉及函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想之外，还有“设而不求”“以直代曲无限逼近”等重要方法，对学生的综合素养要求较高，本文介绍的几种通法，可以为学生在证明不等式选择解题方向时提供一定的借鉴与参考．

探求一道优质问题的一题多解，不仅可以有效巩固学生在同一知识体系中学到的基础知识，训练基本技能，而且还能帮助学生跳出这一知识体系，到其他知识体系中寻求相关性.学生在一题多解的过程中将知识灵活运用，触类旁通，从不同角度探寻解决问题的思路，能够拓宽学生的视野，锻炼学生的逻辑思维能力.除了提升学生的数学能力，还发展了逻辑推理、数学运算等数学核心素养，有利于提高学生的综合素质.教师在教学过程中应当从解法出发，倡导一题多解的策略，拓宽学生的知识面，让学生核心素养真正落地.