对一道课本例题的解法探讨

彭光焰

(湖北省广水市第一高级中学 432700)

课本是几代人集体智慧的结晶，它具备相当完备的知识体系和能力架构系统，其中的例题和习题是学生解题能力的核心生长点，有些典型例习题由于其自身所蕴含的数学概念、数学思想、数学方法非常突出.因此，在教学中利用好典型例习题，不仅可以在教学中强化基本概念和定义，还可以引导学生重视并运用定义解题，同时引导学生对课本的例题、习题进行多解、变式、迁移、整合、拓展.因此，在教学中要切实把握好概念教学，这样既能提升学生运用数学概念分析问题和解决问题的能力，又能提升学生的数学素养.

1 题目呈现

此题目是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 4-5》第35页例2.

2 解法探讨

2.1 利用柯西不等式函数的最值

解法1 函数的定义域为1,5，且y>0，

此解法是人教A版选修4-5提供的.

2.2 利用判别式求函数最值

分析2把函数转化为关于x的一元二次方程f(x)=0.由于方程有实根，故判别式Δ≥0,求得原函数的值域.

所以y2-23x+15≥0.

由(y2-23x+15)2=100(x-1)(10-2x),得

729x2-(46y2+1890)x+(y4+30y2+1225)=0.

上述关于x的方程有实数根，

故Δ=(46y2+1890)2-4×729×(y4+30y2+1225)≥0.

即y4-108y2≤0，0

2.3 利用导数求函数的最值

分析3 设y=f(x) 的导数为f′(x)，可求得极值点.若函数定义域为a,b，则最值必定在极值点和区间端点中取得.

2.4 利用三角换元求函数的最值

分析4利用三角恒等式sin2α+cos2α=1将所给函数转化为值域容易确定的另一函数,进而求得函数最值.

函数的定义域为x∈1,5,

以下同解法4.

令cos2θ=t，其中0≤t≤1.

2.5 构造向量求最值

分析5 由向量不等式ab≥a·b,可考虑用构造向量的方法进行求解.

2.6 利用方差求函数的最大值

分析6 方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值,充分利用方差S2非负性求函数最大值.

则y=25a+2b.

因为y=25a+2b，

2.7 构造直线截距式求函数的最值

分析7求形如y=f(x)+g(x)函数最值,可以把f(x),g(x)当作是变量,即令v=f(x),u=g(x),φ(u,v)=0一般表示一条曲线,则y可以当作是y=v+u的直线在纵轴上的截距，因此截距的最小值也即是函数的最值.

2.8 利用拉格朗日乘数法求函数最值

分析8用“拉格朗日乘数法”求函数f(u,v)在条件φ(u,v)=0下的最值，方法(步骤)是：

(1)设拉格朗日函数l=f(u,v)+λφ(u,v)，λ称拉格朗日乘数；

(2)求l分别对u，v的偏导,得方程组,求出驻点P(u,v).

如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值可求.

设拉格朗日函数为

F(u,v)=f(u,v)+λg(u,v)，

联立,得

所以通过比较函数值可知

此时x=b或d.

由上面方法知，

由上面探讨可知,柯西不等式法、向量法、方差法只能求出函数的最大值,其它7种方法不仅可以求出最大值,而且可以求出最小值.

在平时的习题教学中,我们如果善于运用一题多解, 既发挥了例题的最大功效,拓宽了学生的学习视野,又培养了学生的综合思维能力和创新能力,同时提高了学生的应试能力.