解题反思下的高三数学复习

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

高三数学复习离不开解题，如何高效地解题决定了高三数学复习的成败，充分发挥解题后的总结与反思,深入挖掘题目所蕴含的知识本质、引导学生在复习中收获更多的感悟,领会其中的数学思想方法,这样才会获得高效、扎实的复习效果.

1 反思解法

一个数学问题可能有多个方法解决，多个视角思考可以培养思维的发散性，得出最简捷的解法.有些是通解通法，有些是巧解妙法，一定要反思对一类题型极具指导和启发意义的通解通法，不仅要研究其解法更要探寻本质.

A.当a<0时，x1+x2<0，y1+y2>0

B.当a<0时，x1+x2>0，y1+y2<0

C.当a>0时，x1+x2<0，y1+y2<0

D.当a>0时，x1+x2>0，y1+y2>0

解法1在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，如图1，作出点A关于原点的对称点C,则点C坐标为(-x1,-y1).

图1

由图象知-x1y2.

即x1+x2>0,y1+y2<0.故选B.

则1=ax3+bx2(x≠0).

设F(x)=ax3+bx2，

则F′(x)=3ax2+2bx.

令F′(x)=3ax2+2bx=0，

要使y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点，只需

整理,得4b3=27a2.

于是可取a=±2,b=3来研究:

故选B.

即-x1>x2>0.

即y1+y2>0.

图2 图3

同理由图3经过推理可得当a<0时x1+x2>0,y1+y2<0.

故选B.

即三次方程ax3+bx2-1=0有两个不同的实数根，且其中一个是重根，不妨记为x1，则

因为a≠0,所以x1x2≠0，x1+2x2=0.

即4b3=27a2.

所以当a<0时，x1+x2>0，y1+y2<0.

以上四种方法从不同的角度都解出了这道题，反思这些解法，还能解决怎样的问题，解法的实质是什么，能否推广？

2 反思原理

反思解题过程中用到的基础知识，注重知识的形成过程，寻找问题与知识结构之间的联系，探究巧妙转化和灵活应用，通过解题反思揭示数学问题的本质，升华解法的理解.

例2 已知在ΔABC中，A=60°，AC=6，BC=k，若△ABC有两解，则正数k的取值范围为____.

因为0°

在△ABC中，设BC=a，AC=b，边a的对角为A，则三角形解的情形如下：

(1)A为锐角时，如图4：

图4

(2)A为直角时，如图5；

图5

(3)A为钝角时，如图6：

图6

3 反思背景

高考中经常出现浓厚数学背景的题，把中学数学知识迁移到不同情境中去,反思题目的背景，探究“源”，寻觅“流”， 多方位、全角度地延伸演变，充实知识结构，开拓数学视野.

例3 (2018年新课标Ⅲ卷)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=90°,则k=____.

解析依题意得，抛物线C的焦点为F(1,0)，故可设直线AB:y=k(x-1).

k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4.

=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1

所以k=2.

这道题的背景是阿基米德三角形，复习中可以以高考题为载体，展开阿基米德三角形简单性质的探究.

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有如下常见结论：

如图7，已知Q是抛物线x2=2py准线上任意一点，过点Q作抛物线的切线QA，QB分别交抛物线于A，B两点，Mx0,y0为AB中点.

图7

(1)若AB过焦点，则AB端点的两条切线的交点Q在其准线上；

(2)阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即xQ=xM；

(3)AB过抛物线的焦点；

(4) 若AB过焦点，则AQ⊥BQ；

(5)若AB过焦点F，则FQ⊥AB；

(6)若AB过焦点，则阿基米德三角形面积的最小值为p2．

根据结论5,很容易解决这个问题，设抛物线C的焦点为F，则FM⊥AB．

所以k·kFM=-1.

所以k=2.

4 反思变式

解完一道题后,反思解题方法中有无规律可循，提炼并总结出这一类题的解法.表象不同，但实质却相同，基于转化策略，强化迁移能力，类比出一般情形下的解题方法.

解法1 (“1”的代换法) 由于a，b∈R+,2a+b=1，

解法2 (导数法)由于a，b∈R+,2a+b=1，则

本题解法很多，可以用“1”的代换法、基本不等式法、代入消元法、柯西不等式法、三角换元法、判别式法、导数法等.要提高难度，只需进行变式.比如将条件等价变形，清除原来的痕迹，或将条件变换，使其看不清实质条件，还可以改变设问方式增加难度.

解法1(“1”的代换法) 圆x2+y2-4x-2y+1=0 的圆心为(2,1)，所以2a+b=1.

设2a+b=λ(2a+3b)+μ(3a+b)，

解法2 (导数法) 圆x2+y2-4x-2y+1=0 的圆心为(2,1)，所以2a+b=1.

由于a>0,b>0，