细数动量定理的涵义和应用

2022-12-19成金德

数理化解题研究 2022年34期

成金德

(浙江省义乌市第二中学 322000)

动量定理FΔt=mv-mv0作为力学中的重要规律之一，它反映了物体受到的冲量与动量变化间的关系，尤其是解决诸如短时间的力作用问题可谓非它莫属.正因为这样，动量定理是中学物理教学的重点内容，也是高考必考的知识点.如何正确理解动量定理的物理涵义和灵活运用至关重要，本文就此问题作详细的分析和探讨.

1 对F的理解

1.1 F是恒力

动量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是恒力.

例1一个质量为m=1 kg的小球，从距地面h=5 m高处，以初速度v0=10 m/s沿水平方向抛出，空气阻力不计，g取10 m/s2.则小球落地时的速度多大？

分析由于小球作平抛运动，其竖直方向的分运动是自由落体运动，即

代入数据解得小球的落地时间：

在小球飞行过程中，小球只受重力作用，设小球在竖直方向获得的分速度为vy，由动量定理得：

mgt=mvy-0，

解得：vy=gt=10 m/s.

由速度的合成知识可得小球落地时的速度大小：

点评：小球只受到重力的作用，且重力是恒力，重力只改变竖直方向的动量.

1.2 F是变力

当F是变力时，由动量定理FΔt=mv-mv0求出的F一般是平均作用力.

例2(2018年全国Ⅱ卷)高空坠物极易对行人造成伤害.若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的撞击时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( ).

A.10 N B.102N C.103N D.104N

分析由于每层楼的高度大约是3 m，由动能定理可求出鸡蛋落地瞬间的速度为：

鸡蛋落地与地面发生相互作用的过程中，鸡蛋受到地面的支持力和重力的作用，取向上方向为正方向，应用动量定理得：

(FN-mg)t=0-(-mv)

代入数据解得：FN≈1×103N，由牛顿第三定律可知鸡蛋对地面产生的冲击力约为103N，因此，选项C正确.

点评鸡蛋与地面间的作用力是一个变力，本题中应用动量定理求出的鸡蛋对地面的冲击力是平均作用力.

1.3 F是某个方向的力

动量定理也可写成分量形式，即FxΔt=mvx-mv0x和FyΔt=mvy-mv0y.

例3某质量为m的物体A，现以速度v0沿水平方向抛出，由于物体A受到水平向左的恒力F的作用，当物体A下落了一段距离后，其水平速度的大小仍为v0，但水平速度的方向与原水平速度方向相反，如图1所示.则此时物体的速度多大？

图1

分析物体A在下落运动的过程中，受到重力和水平向左的恒力F的作用，因此，物体A在水平方向(设为x方向)作匀减速运动；在竖直方向(设为y方向)作初速度为零的匀加速运动，则在两个方向上分别应用动量定理得：

在x方向：Ft=mv0-(-mv0)

在y方向：mgt=mvy-0

由速度的合成原理得：

点评物体A在下落运动的过程中，受到水平方向的恒力F和竖直方向的重力mg作用，则物体A在水平方向和竖直方向的动量均要发生变化，因此，可以分别对两个方向应用动量定理求出两个分速度，再应用矢量合成法则求出合速度.

1.4 F是电学中的力

动量定理FΔt=mv-mv0中的F可以是力学中的重力、弹力和摩擦力，也可以是电学中的电场力、安培力.

例4如图2所示，平行光滑金属轨道ABCD和A′B′C′D′固定在水平地面上，轨道间的距离为d=0.8m，DD′之间连接一个定值电阻，其阻值R=0.3Ω.倾角为θ=30°的倾斜轨道与水平轨道顺滑连接，BB′C′C是宽为x=0.25m的矩形区域，在该区域内存在方向竖直向上、磁感应强度为B=1.0T的匀强磁场.质量为m=0.2kg、电阻为r=0.1Ω的导体棒在倾斜轨道上与BB′距离L=1.6m处静止释放.取g=10m/s2，求导体棒离开匀强磁场B时的速度大小v；

图2

分析(1)导体棒从斜面上下滑到水平面上时，设此时的速度为v1，应用机械能守恒定律得：

代入数据解得：v1=4m/s

设导体棒离开匀强磁场B时的速度为v，导体棒在磁场B区域中运动时，受到安培力的作用，根据动量定理可得：

而：ΔΦ=Bdx

解以上各式得：

=2m/s

点评导体棒进入磁场后，由于安培力的作用，使导体棒做减速运动，要求出导体棒离开磁场时的速度，必须应用动量定理.

2 对m的理解

2.1 m可以是单个物体的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是单个物体的质量.

例5某运动员用头颠球，若足球用头顶起，每次上升高度为h=0.80 m，足球的质量为m=0.40kg，与头部作用时间Δt为0.1 s，空气阻力不计，g=10 m/s2，求足球对头部的作用力.

分析设竖直向上为正方向，由于空气阻力不计，所以顶球前后足球的速度大小相同，其速度由运动学公式得：

v2=2gh

在用头部颠球的过程中，设头部对足球的作用力为FN，对足球应用动量定理得：

(FN-mg)Δt=mv-(-mv)

解以上两式得：

=36 N，

根据牛顿第三定律可知，足球对头部的作用力为36 N，方向竖直向下.

点评在应用动量定理时，本题中只涉及足球这个物体，其表达式中的m即为足球的质量.

2.2 m可以是多个物体的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是多个物体的质量.

例6用细线将质量分别为M、m的金属块与木块连在一起浸在水中，开始时木块的上表面刚好与水面相平，如图3所示.现从静止释放后，系统以加速度a加速下沉，经t1时间细线突然断裂，又经t2时间木块回到初始位置，且具有向上的速度v.求此时金属块的速度vM.

图3

分析取竖直向下方向为正方向.对由两物体组成的系统应用牛顿第二定律得：F=(M+m)a

对系统在整个运动过程应用动量定理得：

F(t1+t2)=(MvM-mv)-0

解以上两式得：

点评在本题中，涉及金属块和木块两个物体，但依然可以应用动量定理.如果两个物体的速度相同，则可以将两个物体合并为一个，但如果两个物体的速度不相同，在计算动量时可分别计算.

2.3 m可以是连续介质的质量

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是连续介质的质量，尤其是某一部分液体的质量.

例7(2019年高考全国Ⅰ卷)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1s时间内喷射的气体质量约为( ).

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

分析设发动机在1s内喷射出的气体的质量为m，取这部分连续气体作为研究对象，这部分连续气体受到运载火箭的推力和重力的作用，由于重力远小于推力，因此，这部分连续气体所受到的重力可以忽略不计.对这部分连续气体应用动量定理得：

Ft=mv-0

代入数据解得：

可见，选项B正确.

点评从火箭发动机内喷出连续的气体介质，由于反冲使火箭获得方向向上的加速度.对此类连续介质的问题，可以取某一部分连续介质为研究对象，如本题取1s内喷出的气体为研究对象，再应用动量定理求解相关的问题.

2.4 涉及的物体的质量m可以是变化的

动量定理FΔt=mv-mv0中的m可以是变化的，即动量定理对变质量的物体也可应用.

例8宇宙飞船进入一个宇宙尘埃区，每前进x=1 m，就有n=10个平均质量为m=2×10-7kg的微尘粒与飞船相撞，并附在飞船上.若尘埃微粒原来的速度不计，要保持飞船的速度v=10km/s，飞船喷气产生的推力至少应维持多大？

分析取飞船为研究对象，由于飞船在运动过程中，有微粒附在飞船上，使得飞船的质量不断增大，为使飞船的速度保持不变，需要飞船向后喷气获得一个推力来维持.设这个推力为F，在飞船前进x=1m的过程中，飞船增加的质量为ΔM=nm，经历的时间为t=x/v.则由动量定理得：

Ft=(M+ΔM)v-Mv

整理后得：

即飞船喷气产生的推力为200N.

点评本题涉及的飞船由于在运动过程中有微粒不断附着，使得飞船的质量发生变化.求解时，一般选取飞船和附着的微粒为研究对象.

3 对FΔt的理解

3.1 若F是恒力，则冲量FΔt是恒量

例9质量为m的物体以初速度v0做平抛运动，经过时间t，下落的高度为h，速度大小为v，不计空气阻力，在这段时间内，该物体的重力产生的冲量大小为( ).

A.mv-mv0B.mgt

分析由于物体所受的重力是恒力，则它的冲量大小为：FΔt=mgt.则选项B正确.

由于重力的作用，使得物体的动量发生了变化，设物体落地时沿竖直方向的分速度为vy，取竖直向下方向为正方向，根据动量定理可得：

FΔt=mgt=mvy-0

在竖直方向应用运动学公式可得：vy2=2gh

所以，重力产生冲量的大小为：

显然，选项D正确，故本题的正确选项为BD.

点评FΔt是指F在时间Δt内产生的冲量，如果F是恒力，则冲量FΔt是恒量.

3.2 若F是变力，则应用动量定理求出的冲量FΔt是平均值

例10在一光滑的水平面上，有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端紧靠着一物体A，已知物体A的质量m=4 kg，如图4所示.现用一水平力F作用在物体A上，并向左压缩弹簧，力F做功50 J后(弹簧仍处在弹性限度内)，突然撤去力F，物体A从静止开始运动.则当撤去力F后，弹簧的弹力对物体A的冲量大小为( ).

A.20 N·s B.50 N·s C.25 N·s D.40 N·s

图4

分析撤去力F后，在弹簧的弹力作用下，物体向右做加速运动.设弹簧恢复原长时物体A的速度为v.

根据动量定理得FΔt=mv-0

解以上几式得：

可见，选项A正确.

点评本题中涉及的弹簧的弹力是一个变力，则应用动量定理求出的冲量FΔt是一个平均值.

3.3 改变时间Δt，在冲量FΔt不变时，可以改变F的大小

例11杂技演员做高空表演时，为了安全常在下面挂一张很大的安全网，演员不小心从高处掉下落在网上，跟落在相同高度的地面上相比较，下列说法正确的是( ).

A.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时冲量变化较小

B.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时动量变化较小

C.下落的人与安全网接触时间较长，人落在网上时动量变化较大

D.下落的人与安全网接触时间较长，网对人的作用力比落在地上的作用力较小

分析杂技演员落在网上或者地面上，从速度v减小到零的过程中，动量的变化量为Δp=mv-0，显然，杂技演员落到网上或者地面上，最终动量的变化是相同的，所以，选项B、C错误；由动量定理FΔt=mv可知，人落在网上或者地面上时，冲量的变化是一样的，则选项A错误；根据动量定理FΔt=mv可知，人落在网上时接触时间长，则网对人的作用力较小，因此，选项D正确.

点评由动量定理FΔt=mv-mv0看到，当某物体的动量变化相同时，通过增大力的作用时间Δt，可以减小作用力F的大小.