构建数学模型巧解一类数学问题

乐和顺

(湖北随州市曾都区第一中学 441300)

在高中数学的学习中，有些数学问题其本身蕴含着明确的几何意义，若能有意识地引导学生认真读题，注意挖掘出此道数学问题所蕴含的几何意义，通过直观想象，构建出相应的数学模型，揭示数学对象之间的关系、规律，进行合理地转化，可以化繁为简，让问题得以快速地解决.

1 利用两点间的距离求解

解析因为Ma,b在直线3x+4y=15上，

所以3a+4b=15.

2 利用点到直线的距离求解

例2若动点Ax1,y1，Bx2,y2分别在直线l1:x+y-7=0，l2:x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( ).

解析由题意知，点M所在直线与l1，l2平行且与两直线距离相等．

设该直线的方程为x+y+c=0，

所以点M在直线x+y-6=0上运动．

则点M到原点距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离，即

故选A.

点评此例的点M在一条定直线上，要求点M到原点距离的最小值，其数学实质就是原点到直线的距离，对应数学模型为点到直线的距离.

3 利用点、直线与圆的位置关系求解

A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1

分析点M的坐标为cosα,sinα，其数学模型是点M在单位圆上，问题转化成直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系即可求解.

解析因点M的坐标为cosα,sinα，所以点M在单位圆上.

例4 在平面直角坐标系xOy中，直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为____．

分析直线l1过定点A0,2，直线l2过定点B2,0，且两直线相互垂直，垂足即为点P，说明点P在以点AB为直径的定圆上，问题转化为考查直线与圆的位置关系.

因为圆心到直线x-y-4=0的距离为

4 利用圆与圆的位置关系求解

例5 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A-1,0，B1,2．在圆C上存在点P，使得PA2+PB2=12，则点P的个数为( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

分析依据圆的定义由条件“PA2+PB2=12”可知点P在圆上，问题化归为考查两圆的位置关系.

解析设Px,y，圆C：x2+y2-4x=0即圆C：x-22+y2=4.

因为PA2+PB2=12，

所以PA2+PB2=x+12+y-02+x-12+y-22=12.

化简,得x2+y-12=4.

问题即为点P要同时在两个圆上.

所以圆x-22+y2=4与圆x2+y-12=4相交，故点P的个数为2.故选B.

5 利用直线的斜率求解

分析本题关键点是将条件“∠APO=∠BPO”转化为直线PA与PB的斜率之和为0,再用斜率公式，问题获得解决.

很显然当直线AB的斜率不存在时,t可以为任意实数.

当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx-1,其中Ax1,y1，Bx2,y2,

得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0.

根据根与系数的关系有

整理,得2x1x2-t+1x1+x2+2t=0.

解得t=2.

6 利用导数的几何意义构建对应数学模型

例7若实数a，b，c，d满足lna=b，c+1=d，则a-c2+b-d2的最小值为____.

分析数学式a-c2+b-d2可理解为曲线y=lnx上一点a,b与直线y=x+1上一点c,d间的距离的平方，根据函数图象及性质可知，函数y=lnx在1,0处的切线方程x-y-1=0与直线y=x+1之间的距离的平方为我们要求的a-c2+b-d2的最小值.

图1

解析因为式子a-c2+b-d2表示两点间的距离的平方，又有b=lna，d=c+1，令函数y=lnx与直线y=x+1.

a-c2+b-d2的最小值即为函数y=lnx与直线y=x+1平行的切线与直线y=x+1之间的距离的平方.

即函数y=lnx在1,0处的切线方程为x-y-1=0，与直线y=x+1平行.

故a-c2+b-d2的最小值为d2=2.

教师在课堂教学中可以有意识地引导学生分析条件，找到条件与基础知识间的相互联系，思考知识与技能所蕴含的数学本质，构建合适的数学模型，培养学生运用知识解决问题的能力，实现学生形成和发展数学学科核心素养的目标.同学们在平时的数学学习中，要重视数学基础知识、基本技能的学习与积累，认真审题，抓住题眼，学会合理建模，善于举一反三，不断提升自己的分析问题与解决问题的能力.