人教A版高中数学新旧教材的比较研究——以“三角函数的概念”为例

⦿哈尔滨师范大学教师教育学院 汪会婷

为了更好地满足不同时期学生学习和教师教学的需要，教育部对课程标准进行了修订，随之而来的就是教材的改革.“2004年人教A版普通高中数学”(以下称“旧教材”)在多位教研人员根据一线教师的实践经验以及多年的潜心研究下推出“2019年人教A版普通高中数学”(以下称“新教材”).新教材在结构设置上更具有逻辑性，在内容呈现上衔接也更紧密，更加符合学生认知特点和发展规律，能够在学生已知已能的基础上进行呈现，与学生的已有认知建立起联系，展现出新教材的连贯性与严谨性，有利于提高学生问题解决的能力，培养学生数学学科核心素养，体会数学思想方法的应用，实现育人价值.

旧教材“任意角的三角函数”这一节在内容安排上衔接并不紧密，从锐角三角函数到任意角的三角函数，仅仅通过一句话“同样地，我们可以用单位圆定义任意角的三角函数”作为桥梁，无论是教师还是学生对于这种过渡都无法真正理解，不能达到立竿见影的效果.锐角三角函数主要适用于解三角形，解决的是三角形中边与边的比值、边与角的定量关系问题；而任意角的三角函数是用来描述周期变化现象的函数，刻画周而复始的运动规律.这两种不同的三角函数衔接的处理方式不太合理.新教材在“三角函数的概念”这一节作了全新的变动，通过建立数学模型，研究单位圆上点的运动，刻画其位置变化情况.以单位圆为载体，贯穿始终，循序渐进，体现新教材内容编排的紧密性，从特殊到一般，体现数形结合的思想方法，突出函数概念的本质，让人耳目一新.

1 新旧教材三角函数概念所处位置的比较

旧教材中“任意角的三角函数”位于必修4第一章第二节，新教材中“三角函数的概念”位于必修一第五章第二节.从节与节的衔接出发，新旧教材“三角函数的概念”都是在“任意角和弧度制”这一节之后进行学习.从章与章的衔接出发，旧教材此部分内容安排在必修1第三章“函数的应用”之后进行学习，并在另一册(必修4)书中出现，与函数主体部分脱离开来，不利于学生建立完整的逻辑体系；而新教材则将其安排在同册书第四章“指数函数与对数函数”之后进行教学，与函数主体部分建立起紧密联系，具备一定逻辑联系，以函数的概念为基础，使得三角函数概念的得出更加水到渠成.

2 新旧教材三角函数概念知识编排顺序的比较

旧教材知识编排顺序：复习锐角三角函数→在直角坐标系中用锐角终边上点的坐标表示三角函数→用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数→用角的终边与单位圆交点的坐标定义任意角的三角函数→例题→探究.

新教材知识编排顺序：明确通过建立数学模型，刻画点在单位圆上的位置变动情况的任务→探究当角取不同值时，点的坐标如何表示、是否唯一，体会函数概念的本质→下定义并明确任意角三角函数的符号表示→探究角被局限时，锐角三角函数与任意角的正弦、余弦与正切的关系.

3 新旧教材三角函数概念的内容比较

3.1 节引言的比较

3.1.1 旧教材的内容安排

活动1：复习初中学过的锐角三角函数，给出锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.

疑难：锐角三角函数是用来研究三角形中边与边比值的一种工具，这对于刚学习完集合与函数知识点的学生来说跨度比较大.此外每个学生的认知基础是不同的，并非所有的学生都能清楚“比值”二字到底是指边与边还是边与角.

活动2：提出一道思考题——在直角坐标系中，用角的终边上点的坐标如何表示锐角三角函数？

疑难：在这节课之前，学生并未接触过角的终边上点的坐标，脑海中也无法建立相应的图形，又怎么会进行真正有效的思考！此外，这个思考题是为接下来的教学内容作铺垫的，并不是学生自己主动建构引发的，无法实现以学生为本、发挥学生主动性的目的.

3.1.2 新教材的内容安排

活动1：复习上节课学习过的弧度制的相关知识.

亮点：使学生了解到角已经扩展到实数范围，为后续揭示函数概念的本质作铺垫.

活动2：研究上节课点在圆上的运动问题，并强调不失一般性，先研究单位圆上点的运动.

亮点：对三角函数概念的研究又回归到圆周运动，继续研究之前提出的问题，与其性质相符，有利于学生发散性思维的培养.对于教师而言，需要进行反复推敲，精心设计课堂教学，使学生对从圆上点的运动过渡到单位圆上点的运动清晰明了.

活动3：明确研究任务——点在单位圆上旋转，通过建立模型，刻画点的位置变化情况.

3.2 抽象概念环节的比较

3.2.1 旧教材的内容安排

困难：这部分内容因学生并未接触过单位圆，教材在使OP特殊化后的图中作出单位圆，很容易让学生产生迷惑，这个圆为什么会出现？

活动2：引出单位圆的知识点，利用单位圆上点的坐标去表示锐角三角函数，进而利用单位圆上点的坐标去表示任意角的三角函数.

困难：首先，这种推广使得三角函数周期性的呈现并非水到渠成，而且两种不同性质的函数的过渡也让知识的衔接不再紧密.其次，在利用单位圆定义锐角三角函数的时候，并没有图示加以说明；但是在定义任意角三角函数时，直接将单位圆放在任意角中，不利于学生理解.此外，在整个研究过程中点的位置多次发生转变，从锐角终边上任一点到锐角的终边与单位圆的交点再到任意角的终边与单位圆的交点，这种转变很容易造成理解上的困难，加重学生的理解负担[1].

活动3：教材给出正弦、余弦、正切的定义，并探讨了角x的范围，引出三角函数.

困难：对于定义的引出，教材并没有进行对应关系的铺垫，而是仅仅通过“利用单位圆上点的坐标也可以表示任意角的三角函数”，并未突出三角函数概念的本质.另外教材中的定义是符号化的，这与学生之前学过的特殊函数定义方式有所不同，例如，函数y=xa(x是自变量，α是常数)叫做幂函数，对学生的思维转变有挑战.此外教材给出正弦、余弦和正切定义后未给出正弦、余弦和正切函数的定义，而是直接给出三角函数的定义，这种大幅度跳跃的概念不利于学生理解.

3.2.2 新教材的内容安排

活动1：首先以函数的经验和直角坐标系为背景，探究具体角的终边与单位圆交点的坐标，以及坐标是否唯一确定，再思考任意一个角的终边与单位圆的交点是否唯一确定.

亮点：将此部分设为探究环节，有利于学生的独立思考与合作交流.大部分学生在合作思考中，通过作垂线利用初中学习的勾股定理计算出点的坐标，发现它们确实是唯一确定的，既可以提升数学运算能力，又能体会成功的乐趣.在思考任意一个角的终边与单位圆的交点是否唯一确定这一问题时，对于教师而言，需要进行精心设计，可以使用信息技术手段，例如用《几何画板》进行直观呈现，给学生以最佳的视觉效果，突出三角函数概念的本质，得出任意角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是唯一的，从而得到两组对应关系.新教材的这种设计方式使得定义的呈现水到渠成而且环环相扣，由特殊到一般，突出函数概念的本质[2].

活动2：给出正弦函数、余弦函数，并明确指出正切无意义时角x的范围，进一步给出正切函数的定义，表明三角函数的一般形式.

亮点：前后衔接特别紧密，使学生能明确三角函数的定义以及三要素，紧接着给出一般形式，与学生的已有认知建立联系，与学生头脑中原有的函数形式相契合，方便学生领悟.

活动3：设定探究环节，复习初中所学的锐角三角函数，并使角在特定范围下，提出问题——同一个锐角用锐角三角函数定义求得的正弦与按本节课所学习的三角函数定义求得的正弦是否相等，对于余弦、正切也有相同的结论吗？

亮点：此部分将锐角三角函数的定义与本节所学三角函数的定义建立起联系，有利于新旧知识的融合，培养学生的逻辑思维和数学推理能力，并以相似三角形的相似比作为桥梁将二者联系在一起，使学生学会解决问题的新方法，拓展学生思维，也为后续例题呈现作铺垫.

3.3 例题的比较

3.3.1 旧教材的例题安排

活动1：第一道例题是求角的正弦、余弦和正切值.学生通过建立直角坐标系，作角，运用勾股定理计算角的终边与单位圆交点的坐标，然后根据定义便可以直接得出三角函数值.此过程学生能够明晰求三角函数值的步骤，进一步理解三角函数的内涵.

3.3.2 新教材的例题安排

3.4 习题的比较

旧教材的习题设置在整节结束后，并没有在例题讲完后直接设置,与新教材相比并没有起到及时巩固的作用，很容易造成学生对三角函数概念的遗忘.

新教材在例题后直接设置4道习题：利用三角函数定义求不同角的正弦、余弦和正切值；已知角终边上一点的坐标，求角的三个三角函数值；点在圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s，圆的半径为2，求某时刻点的位置.第4道题与其他题目有所不同，给出了物理量角速度，可促使学生从另一个角度理解三角函数的概念.这4道习题题型很丰富，突出了本节课所学内容的重点，加深学生对三角函数概念的理解与应用，促使学生能够融会贯通、学以致用，提升理解与应用能力.