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基于模糊Domain基的连续扩张

2022-12-18饶三平

南昌工程学院学报 2022年4期
关键词:子集联络刻画

饶三平

(南昌工程学院 理学院,江西 南昌 330099)

Domain理论是程序语言指称语义学的数学基础。序与拓扑的相互结合,相互作用是这一理论的基本特征。正是由于Domain理论的这一特征及其与计算实践的紧密联系,从70年代Scott开创Domain理论以来[1],一直受到数学和计算机科学领域内诸多学者的关注,更成为拓扑学的一个重要的研究方向。

量化Domain理论主要是为并发式程序语言提供数学语义模型。经过多年来的发展,取得了迅速发展。Zhang和Fan引进L-Fuzzy拟序集构成量化Domain理论的基本框架[2],促进了量化Domain理论的发展。他们首先定义模糊偏序,实质上是非空集上的程度映射,然后再研究L-Fuzzy的一些基本性质。基于完备剩余格,Yao和Shi研究了模糊dcpos和它上面的连续性[3-4],并对模糊dcpos上的模糊Scott拓扑进行了系统的研究。此外,从范畴的角度,Hofmann和Waszkiewicz对量化Domain理论也进行了研究[5-6]。基于可换单位Quantale上的Ω-范畴,Lai和Zhang也研究了量化Domain理论[7]。可以说,这些研究都是对经典Domain理论进行了进一步推广。

在对量化Domain理论研究的过程中,最重要的研究对象无疑是模糊Domain[8]。那么怎样刻画这么一个重要概念显得尤为重要。众所周知,在经典的Domain理论中,基和Galois联络扮演着重要角色,其结果不仅仅体现在刻画Domain,对研究Domain的其它一些性质也起了重要作用。那么,在模糊Domain中,是否有类似的概念及性质?为此,本文进行了相应的研究。

1 预备知识

本文选取完备剩余格作为格值,完备剩余格L是一种代数结构,它满足:

(1)(L,∧,∨,*,→,0,1)是完备格,最小元为0,最大元为1;

(2)(L,*,1)是可交换的monoid,基中1是单位元,即∀a∈L,a*1=a;

(3)*,→构成Galois联络,即∀a,b,c∈L,a*b≤c⟺a≤b→c。

有关详细完备剩余格的知识可参考文献[9],若无特别声明,本文中L表示完备剩余格。下面列出运算*,→的一些基本性质。

引理1[9]设L是完备剩余格,则∀a,b,c∈L,下列式子成立:

(I1) 0*a=0且1→a=a;

(I2)a≤b⟺a→b=1;

(I3) (a→b)*(b→c)≤a→c;

(I6)a→(b→c)=b→(a→c)=a*b→c;

(I7)a*(a→b)≤b.

设X为一非空集合,X上的模糊子集就是从X到L上的映射,X上的所有模糊子集记为LX。∀A,B∈LX,A和B之间的相等可以通过一般映射之间的相等来定义,也就是说,A=B⟺∀x∈X,A(x)=B(x)。

定义1[9]X上的模糊关系e是X×X上的模糊子集,即e:X×X→L。X上的模糊关系e称为是模糊偏序。若e还满足:

(1)∀x∈X,e(x,x)=1;

(2)∀x,y,z∈X,e(x,y)*e(y,z)≤e(x,z);

(3)∀x,y∈X,e(x,y)=e(y,x)=1⟹x=y.

称(X,e)为模糊偏序集。若e是X上的模糊偏序,A∈LX称为模糊上集。若∀x,y∈X,A(x)*e(x,y)≤A(y),A∈LX称为模糊下集。若A(x)*e(y,x)≤A(y)。

定义2[2]设(X,e)是模糊偏序集,x0∈X称为模糊子集A的并,记为x0=凵A。若满足下列条件:

(1)∀x∈X,A(x)≤e(x,x0);

在引理2中,若A=↓x,则

定义3[3]设(X,e)是模糊偏序集,模糊子集D∈LX为模糊定向的。 若它满足:

记X上所有的模糊定向子集为DL(X)。称模糊偏序集(X,e)为模糊dcpo。若∀D∈DL(X),凵D存在。

定义4[3]设(X,e)是模糊dcpo。∀x,y∈X,:X×X→L定义如下:

定义5[3]模糊dcpo(X,e)称为模糊Domain若它满足:∀x∈X,

(2)x=凵x.

此外,∀x,y∈X,定义映射k:X→LX如下:k(x)(y)=e(y,x)*y(y)。若∀x∈X,k(x)是模糊定向子集且满足x=凵k(x),则称(X,e)为模糊代数Domain。

引理3[3]设(X,e)是模糊dcpo,则∀x,y,u,v∈X,下列式子成立:

(2)e(u,x)*y(x)*e(y,v)≤v(u).

引理5[4]设(X,e)为模糊dcpo,∀x∈X,若存在模糊定向子集A满足x=凵A和A≤x,则x是模糊定向子集且x=凵x。

定义7[10]设(X,eX)、(Y,eY)为模糊偏序集,f:(X,eX)→(Y,eY)、g:(Y,eY)→(X,eX)为模糊单调映射。称有序对(f,g)为(X,eX)和(Y,eY)之间的模糊Galois联络,若∀x∈X,y∈Y,eY(y,f(x))=eX(g(y),x),其中,称f为g的上(左)伴随;对偶地,g为f的下(右)伴随。

2 连续扩张

下面要建立基于模糊Galois联络的连续扩张。为此,首先提出以下的概念。

定义8在模糊dcpo(X,e)中,称B⊆X为X的基,若它满足:

下面用上面介绍的定义来刻画模糊Domain。

定理1对于一个模糊dcpo来说,它有基当且仅当它是模糊Domain。

证明充分性:易证X⊆X是X的基,显然,它是最大的基。

定理2在模糊Domain(X,e)中,B⊆X,下列命题等价:

(1)B是X的基;

证明(1)⟹(2),由定义8可得。

事实上,∀x,y∈X,

(3)⟹(4),∀x,y∈X,有

y(x).

(4)⟹(1),若(4)成立,下证B是X的基,∀y∈X,

e(凵

首先,∀a′,b′∈X,

y(a′)*y(b′)≤

定理3在模糊Domain(X,e)、(Y,e)中,B⊆X、C⊆Y分别是(X,e)、(Y,e)的基,(g,d)是从(B,e)到(C,e)之间的模糊Galois联络。则存在唯一的从(X,e)到(Y,e)的模糊Galois联络(G,D),且G是g的连续扩张。

同理,∀y∈C,D(y)=d(y),易验证G是模糊连续的,下证(G,D)是从(X,e)到(Y,e)之间的模糊Galois联络。 ∀x∈X,y∈Y,

e(D(y),x).

唯一性是显然的。

3 结束语

本文基于模糊dcpo,给出了基的概念,从而获得模糊Domain的等价刻画,同时借助于模糊Galois联络,给出了模糊Domain基的连续扩张。对于模糊Domain基的连续扩张的研究,不仅丰富了模糊Domain的理论知识,拓展了模糊Galois联络的应用,还为其它模糊对象的相应扩张提供了一种可行的方法。

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