基于结构图谱的小学数学计算教学新范式

摘要 计算教学的关键是强化与计算相关的概念、公式、命题的理解，帮助学生从程序化操作走向理解性应用，形成灵活合理运算的自觉意识。结构图谱能通过层次明晰的认知结构图的呈现，帮助学生经历知识动态发展的过程，进行不同表征内部的转换，体现了知识产生、发展、应用的顺序，在知识表征过程中形成结构化、直观化的理解，实现对知识的理解进阶。教学中针对不同知识点，以多层结构图谱促进计算方法生长化，以多元结构图谱促进计算理解结构化，以多维结构图谱促进计算应用多样化。

关  键  词 结构图谱 小学数学 计算教学 理解进阶

引用格式 杨熠.基于结构图谱的小学数学计算教学新范式[J].教学与管理，2022（35）：38-41.

结构图谱是学习者针对某一学习内容，根据自己的思维过程并依据一定的关系，用简要的文字、符号、图形等画出层次明晰的认知结构图的过程[1]。有别于几何直观或思维导图，结构图谱并不只是一张静态的图示，而是由多种、多张图示动态发展而成，有直线型、网状型、辐射型等表现形态。结构图谱可以帮助学生经历知识动态发展的过程，进行不同表征内部的转换，体现知识产生、发展、应用的顺序，在知识表征过程中形成结构化、直观化的理解，实现对知识的理解进阶。

计算是抽象的，计算教学要强化与计算相关的概念、公式、命题的理解，帮助学生从程序化操作走向理解性应用，形成灵活合理运算的自觉意识。计算的理解与应用是一个过程，从基于已有经验的初始理解，到思维碰撞产生的生生互动，再到结构化的理解关联形成，最后到基于理解的迁移和运用，无不需要在多元表征基础上建立相互之间的联系。因此，我们需要通过直观、结构化、生长性的结构图谱，改进和促进小学计算教学。

一、以多层结构图谱促进计算方法生长化

依据知识发生发展的顺序和学生对知识的理解过程，可以形成线性发展的结构图谱。学生对计算的理解是一个渐进的过程：先依据生活经验和已有知识产生对学习内容的初步理解，接着通过交流、比较后得到计算的一般方法，再在实际应用中达成对“算法”的反复理解，实现“算法”内化。但教学中教师往往只重视通过一次图示帮助学生理解“为什么要这样算”，而忽略了在思维可视化背景下前期和后期的思维结构化，从而造成学生没有经历计算思维的生长过程，对运算意义的理解不全面。因此，在计算方法的学习过程中，需要通过思维线性推进的路径实现理解进阶。从展示学生初始思维状况到归纳比较得出合理算法再到深入理解算法背后的算理，再到打破固定思维模式，形成灵活运算意识，最后感受算法发展历史，体验数学文化。

如人教版《数学》三年级下册两位数笔算乘法“18×12”的教学。

第一次，算法层面，鼓励学生自由表征算法并分析不同算法的联系与区别。

（1）学生思考，交流，汇报。教师出示点子图，引导学生在点子图上圈一圈，用直观图示表示自己的想法。

（2）小结：把其中一个因数拆成两数相乘、相加或相减的形式，不同方法的计算结果都是相同的。按照所应用的不同运算定律进行分类，得到类似18×2×6的一类或18×10＋14×2的一类，进而明白不同計算方法背后算理的区别，加深理解。

（3）结合17×11，思考哪一种方法是计算两位数乘两位数的通用方法。学生讨论后得出：把其中一个两位数拆成整十数加一位数的方式是通用的计算方法。

第二次，算理层面。怎样把上面的通用算法用竖式的形式表示出来？学生尝试、讨论，把点子图和乘法竖式相结合，理解乘法竖式的算理（如图2），掌握乘法竖式计算方法。

第三次，灵活应用。两位数乘两位数不一定要用竖式计算，如计算25×12，转化为25×4×3计算最简便；计算37×19，转化为37×20－37×1最简便（如图3）。归纳得出：要根据数字特征，灵活选择运算定律，使计算更简便。

第四次，数学文化。把现在的笔算乘法和古代中国的“铺地锦”、古意大利的“格子乘法”、古印度的“画线法”联系起来[2]，理解不同方法背后的道理都是一样的，感受人民群众的智慧和数学的魅力。

四次构图形成关于两位数乘两位数的线性结构图谱，实现了“特定题目的多样算法→从不同算法之间的区别与联系中找通用算法→算理理解→特定题目的灵活应用→理解数学文化”的理解进阶（如图5）。学生理解了笔算乘法作为普适性方法背后的道理，又培养了他们根据数字特征灵活运算的意识。

小学数学计算和生活联系比较紧密，且教学内容以螺旋上升的形式编排，学生在学习计算前一般都会有一定的基础。因此，学习计算方法时要开展多层构图，激发学生主动参与算理理解、实践体验、文化渗透等活动，引发积极的内心体验，形成灵活的运算意识，促进计算思维的生长。

二、以多元结构图谱促使计算理解立体化

数学理解就是实现不同表征之间的转换。计算理解需要实现文字符号、算式、实物、图形、生活实例等多元数学表征形式的内在联结，构成水平层面的网状结构图谱；同时要联系前后相关知识点，形成纵向层面的知识发展脉络。两者相结合，构建立体知识体系，促进学生对算理的立体化理解。

以人教版《数学》四年级下册乘法分配律的学习为例。

（1）不同表征方式的横向联结。用来说明、解释乘法分配律的方式有很多，但其作用和论证方式不同。如通过算式验证，是运用不完全归纳推理；举生活实例和画矩阵图说明，是运用类比推理；用乘法的意义进行算理解释，则运用了演绎推理。在小学阶段，这些方式都可以用来说明和解释乘法分配律，也都存在各自的片面和局限。而把这些表征方式联系起来，形成网状结构图谱（如图6），不同表征之间就可以互相映衬、互相解释，融为一个整体。

（2）知识发展的纵向联结。接着，联系教材中与之相关的前后知识，形成知识发展脉络图（如图7）。可以看到，从三年级上册的两位数乘一位数到多位数乘一位数，再到三年级下册的两位数乘两位数，都在运用乘法分配律，而乘法分配律后续又将应用于五年级多边形面积的计算等众多内容。这样，就可以建立前后知识之间的联系，使学生理解乘法分配律在学习中的重要地位。

（3）不同运算定律的区别。把乘法分配律和最容易混淆的乘法结合律放在一起进行比较。以2×3×4和2×（3＋4）为例，通过图形表征，帮助学生形成与算式相对应的图形表象，使学生理解，乘法结合律相当于求若干个相同长方形的总面积（如图8-1），乘法分配率相当于求两个宽相等的小长方形的面积之和（如图8-2）。避免两者情况混淆。

（4）正误辨析。把学生解答时的易错点进行比较。如25×（8＋40）×125，通过下面的图形表征，让学生明白为什么25×（8＋40）×125=25×125×8＋25×125×40（如图9-1）。而如果写成：25×40＋8×125，其中25×40还可以在图中表示，8×125则无法在图中表示（如图9-2）。

以上教学，基于系统化的逻辑关系，通过建立乘法分配律不同表征形式的横向网状结构、不同学习时期的纵向发展脉络、不同运算定律之间的区别、正误辨析等结构模型，形成关于乘法分配律的立体结构图谱，促使学生更好地理解乘法分配律的意义，在实际运用时不再是机械地模仿，而是基于运算定律意义理解的活动。

多元构图促使学生在比较和联系中进行分析、综合、创造，培养了学生探究数学、发现规律、应用规律的高层次数学思维能力，把计算学习重心由计算训练引向核心素养，实现基于理解的学习。

三、以多维结构图谱促成计算应用辐射化

数学知识只有在广阔的场景中反复应用，才能帮助学生更好地掌握。从不同维度描述知识结构，可以使知识的作用辐射得更广、更深刻。当前对计算应用的场景拓展程度不够，仍处于“为计算而计算”，没有形成“自觉运用计算知识解决问题”的意识。教师要开展创造性的实践应用，通过辐射状的多维结构图谱，统筹计算内容和其他知识的关系，实现教学全过程深度优化融合，给学生提供从整体上思考的情境，使学习超越计算范畴，在问题解决中升华运算思维，建立计算教学新体系。

如“等差数列求和”，如果学生仅学习到“（首项＋尾项）×项数÷2”的计算公式，并不能帮助学生形成系统的运算思维。教学中应联系更广阔的应用场景，以促进学生更高层面思维的发展。

（1）求和。以计算“3＋5＋7＋…＋13”為例，结合梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2，理解两者之间的共同之处（如图10-1）。回顾梯形面积公式的推导过程，数形相结合，进一步加深对等差数列求和方法的理解，使学生的思维从有限到无限。

（2）求项数。结合植树问题，理解求等差数列的项数相当于求植树问题中的棵数。如要知道数列“3＋5＋7＋…＋13”中共有几个数，相当于求“每隔2米种一棵树，从第3米一直种到第13米（两端都种），一共有几棵树？”（如图10-2）

（3）拓展。把等差数列与“数线段条数”“数角的个数”“数长方形个数”等相联系，增加等差数列求和的应用场景。如解答图10-3中的问题，都只需要计算等差数列“6＋5＋4＋3＋2＋1”的和。

这样的教学，把看似分属不同知识体系的“等差数列求和”“梯形面积”“植树问题”“数图形”等通过计算融合在一起，促使计算应用场景创新，促进学生思维联结，提升教学效果。

又如，在“比的应用”中联系生活应用、国旗制作、图形知识、行程问题等，让学生初步体会到比的知识的广泛应用场景（如图11）。

结构图谱清晰地描绘出计算知识层级递进、互联互通、应用辐射的状况，实现了计算教学更新教育理念、变革教学方法的深层变革[3]，构建了教与学的新范式。学生在描绘知识结构图谱的过程中促进了不同知识之间的联通，形成计算的理解模型，把计算和问题解决相结合，从更高、更广的层面形成问题解决的能力，培养高阶思维能力。

参考文献

[1] 葛敏辉.概念构图：让数学理解看得见——基于“数学理解层次”的可视化学习新探索[J].小学数学教师，2021（12）：5-11+2.

[2] 杨熠.立足教材资源，指向素养提升——小学数学“你知道吗”的深度阅读策略[J].教学月刊·小学版：数学，2020（11）：48-50.

[3] 李永智.教育数字化转型的构想与实践探索[J].人民教育，2022（07）：13-21.