初中数学动点问题解决策略研究

吴丽蓉

(福建省漳州市第三中学 363000)

1 初中数学动点问题概述

动点问题又被称之为“几何动态”题目，通常是指在一个几何图形中，存在某一个动点，这些动点可以沿着特定的方向，或者在特定的范围内进行移动.在此基础上，结合动点的运动特点，对几何图形的变化规律展开探究.与其他的题目类型相比，动点问题更具有综合性，是对基础知识的升华.学生在进行解答的过程中，常常需要包揽所有的数学知识点，要具备很高的知识掌握水平、数学理解能力、知识迁移和应用能力等.可以说，动点问题具备一定的选拔性，在中考等选拔性考试中尤为常见.

2 初中数学动点问题解决策略研究

2.1 单动点问题解决策略

单动点数学问题，顾名思义就是只有一个运动的点.通常，这一类题目常常出现在“平行四边形性质和判定、特殊三角形的性质和判定、勾股定理、函数图像”等知识点的综合考查中.在对这一类动点问题进行解决的过程中，对其进行分析和转化，找出具体的解题思路，是唯一的方法.

2.1.1 点在直线上运动

例1如图1所示：牧马人从A地出发，走到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人找到河边的什么地方饮马？可使得其所走的路程最短？

图1

这一道数学题目，实际上就是考查了“点在直线上运动”，即在直线l上确定点C，使得其满足题意.学生在对其进行解答的时候，可先作出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C即为所求.可以说，这一道数学题目就是典型的单动点问题，运用到的基本数学思路是：利用对称，把直线同侧两点转化为在直线两侧的两点.两个定点分别在已知直线的两侧，如何在直线上求一个动点，使其达到这两个点的距离最短.

2.1.2 点在数轴上运动

数轴是初中数学中最为重要一个部分内容，也是一种特殊的工具.将几何和代数结合起来,动点在数轴上的运用也比较常见，不仅是学生学习的重难点，也是发展学生数形结合思想的关键.例如，在数轴上有三个点，分别为A、B、C，其中点A表示的数为1，点B表示的数为-5.点C为数轴上的动点.如果C到A的距离等于2倍的C到B的距离，求C表示的数？

在这一题目解答的过程中，学生需要运用到分类讨论的思想，先结合题目中给出来的已知条件，设C表示的点为X，并从题目中得出AC=2BC.之后，开展分类讨论，得出最终的正确答案.在对这一类数学题目进行解答的时候，分类讨论是关键，必须要明确不同的情况，并围绕其展开讨论，最终得到相应的解决方案.

2.1.3 等角形问题

在初中数学学习中，等角形问题主要是动点与角有关的问题.通常情况下，在这一类型的数学题目中，常常要求学生在给出来的数学图形上，或者某一个区域中确定一个或者几个以动点作为定点的角，使其于已知的角相等.例如：如图2所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中，A(1，0)、B(4，0)；与y轴相交于点C(0,2)，连接AC、BC.求：抛物线的解析式；如果点P在抛物线的对称轴上运动，要使∠CPB=∠CAB，求P点的坐标.

图2

这就是一道十分典型的等角形问题，在对这一题目解决的过程中，我们常常需要借助待定系数法，由问题中给出的条件∠CPB=∠CAB，可知角的两边都要经过B、C两点，进而逐渐联想到“同弧所对的圆周角相等”这一数学定律，并由此想到：只要将△ABC的外接圆做出来，使其与对称轴相交于两个点.之后，学生就可轻松利用第一问的解析式，采用分类讨论的方式，围绕当点P位于BC下方、当点P位于BC上方的时候，分别进行讨论，并做出相应地解答.

2.1.4 动点与三角形相关的问题

在初中数学考试中，关于“动点和三角形相结合”的考查最为常见，主要包括：动点和特殊三角形、动点与三角形面积、动点与三角形周长、动点与相似三角形等.例如，已知线段AB，在平面上取一点P，使△PAB为直角三角形.这一数学题目就考查了构建直角，即动点与特殊三角形这一问题.在这一数学题目中，涉及到的基本原理主要包括两个方面，即：如果线段AB为斜边，那么点P必定在以AB为直径的圆上；如果线段AB为直角边，以点A为直角的顶点，则点P必然在过点A的AB垂线上；如果线段AB为直角边，以点B为直角的顶点，则点P必然在过点B的AB垂线上；在这一道数学题目中，由于直角的位置不确定，学生必须要结合基本的定理，通过具体问题具体分析，结合不同的情况，运用不同的知识点进行求解.

2.1.5 动点与四边形有关的问题

在初中数学教学中，动点与四边形相关的问题也比较常见，主要体现在：面积最值问题、周长最值问题、构造特殊四边形等问题.例如：如图3所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)经过点A(-1,0)、B(5，-6)、C(6,0)，求抛物线的解析式；在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得四边形PACB的面积最大？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

图3

学生在对这一数学题目进行分析的时候，可借助抛物线交点式，以及待定系数法进行解析；在对第二问进行求解的时候，可将平行四边形面积进行转化，使其成为求解三角形面积问题.在进行转化的过程中，可指导学生分析题意，确定出△ABC面积，学生只需要将△ABP面积确定出来即可.由于这一道数学题目中，要想求出四边形面积最大的动点坐标，可将其转化为求△ABP面积最大时候的动点坐标.随即，借助“切割法”的原理，学生只需要将切割线最大时的动点坐标确定出来即可.

2.2 双动点问题解决策略

与单动点问题相比，双动点问题难度比较大，对学生的数学基础知识、思维、综合能力要求相对较高.结合“双动点”数学问题的内涵，在对其进行解答的时候，常常可通过四步进行，即：一判、二找、三分类、四计算.首先，判断题目的类型，分析其属于单动点还是双动点的数学问题，明确题目中要求的数学问题是特殊的图形，还是周长和面积等；其次，对题目进行分析，找出题目中给出的不变因素，以减少解题时候的分类讨论情况，使得复杂的数学问题变得更加简单、明了；再次，结合数学题目中的不变量、不变形进行作图分析，再结合题目中所求的数学问题，展开分类讨论；最后，利用所学的数学基础知识，根据图形中的几何特征，展开解题计算.

鉴于双动点数学问题的内涵，在对其进行解答的时候，常常要运用一定的化归思想，将题目中的双动点、多个动点进行转化，使其成为单动点的数学问题.并且还要充分利用题目中的“不变性、不变量”进行转化，旨在减少变量的效果；另外，鉴于数学双动点考查的数学题目，常常要结合数学题目展开分类讨论.在展开分类讨论的时候，基本上都是结合题目中的“不变量”、“不变性”展开的.学生只要具备扎实的数学基础知识、基本技能，即可在有效的分类讨论中，完成双动点数学问题的解答.

图4

这是一道典型的双动点数学问题，以三角形作为背景，题目中存在一个定点C，其余的两点M、N均为动点.在对这一数学问题进行解决的时候，基本上都是遵循“化归思想”，按照上述的步骤，利用“对称性”的原则，将定点进行转化，并得出“垂直线段最短”这一结论，进而解决所求的问题.

综上所述，在初中数学题目中，动点问题尤为常见，且学生的失分率比较高.同时，动点问题不仅考查了学生的数学基础知识，也融入了大量的数学核心素养.因此，初中数学教师在安排课堂教学时，不仅要关注数学动点问题，还应结合不同的动点问题，采取最佳的教学策略，引导学生在学习中，总结出数学动点问题的一般解题思路.