中考中丰富多彩的正方形问题

王友峰

正方形是最特殊的平行四边形，具有许多特殊之处，因此成为中考命题的热点素材. 下面向同学们介绍中考中那些丰富多彩的正方形问题.

一、添加条件型

例1 （2021·广西·玉林）如图1，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等

b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等

d.一个角是直角

顺次添加的条件：①a→c→d ；②b→d→c ； ③a→b→c.则正确的是（）.

A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③

分析：根据正方形的判定方法来判断.

解：由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正确；由条件b得到四边形是平行四边形，添加d得到平行四边形是矩形，再添加c得到矩形是正方形，②正确；由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确. 故选C．

点评：本题通过添加条件的形式，考查了判定正方形的不同方法，十分新颖.

二、定义概念型

例2 （2021·上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离.如图2，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，[OP=2]，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为．

分析：先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．

解：（1）如图3，设[AD]的中点为E，连接OA，OE，则AE = OE = 1，∠AEO = 90°，[OA=2]，∴点O与正方形[ABCD]边上的所有点的连线中，[OE]最小，等于1，[OA]最大，等于[2]. ∵[OP=2]，∴点P与正方形[ABCD]边上的所有点的连线中：如图4，当点E落在[OP]上时，最大值PE = PO - EO = 2 - 1 = 1；如图5，当点A落在[OP]上时，最小值[PA=PO-AO=2-2]．

∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距離d的取值范围是[2-2≤d≤1]．

点评：准确理解新定义的含义，熟知正方形的性质，找出正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值是解题的关键．

三、推理计算型

例3 （2021·湖南·衡阳）如图6，点E为正方形[ABCD]外一点，[∠AEB=90°]，将[Rt△ABE]绕点A逆时针方向旋转[90°]得到[△ADF]，[DF]的延长线交[BE]于H点．

（1）试判定四边形[AFHE]的形状，并说明理由；

（2）已知[BH=7，BC=13]，求[DH]的长．

分析：（1）由旋转的性质可得∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF，∠DAF = ∠EAB，由正方形的判定方法可证得四边形AFHE是正方形；

（2）连接[BD]，利用勾股定理可求得[BD=CD2+CB2=132]，再利用勾股定理可求出DH的长．

解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：根据旋转有∠AEB = ∠AFD = 90°，AE = AF，∠DAF = ∠EAB. ∵四边形[ABCD]是正方形，∴∠DAB = 90°，∴∠FAE = ∠DAB = 90°，∴∠FAE = ∠AEB = ∠AFH = 90°，∴四边形AFHE是矩形.又∵AE = AF，∴矩形AFHE是正方形.

（2）连接[BD]，∵[BC=CD=13]，∴在[Rt△BCD]中，[BD=CD2+CB2=132].

∵四边形[AFHE]是正方形，∴[∠EHD=90°]，∴∠DHB = 90°.在[Rt△DHB]中，[DH=BD2-BH2]. ∵[BH=7]，∴DH = 17．

点评：本题考查正方形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识进行推理与计算是解题的关键．