巧用等腰三角形旋转解题

周贵胜

图形的旋转很好地把静态的几何动起来，使考题也活起来，从而更好地考查同学们的几何能力.本文就等腰三角形中的图形旋转举例分析.

[例题引入]

例1 如图1，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB = 105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.

（1）求证：△COD是等边三角形．

（2）求∠OAD的度数．

思路分析：（1）因为△ADC是由△BOC旋转60°得到的，所以OC = DC，∠ACD = ∠BCO，所以∠OCD = 60°，从而△COD为等边三角形.

（2）因为△ADC是由△BOC旋转60°得到的，所以∠ADC = ∠BOC = α，∠OBC = ∠DAC.在△AOD中，∠AOD = 360° - 105° - α - 60° = 195° - α，∠ADO = α - 60°，所以∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180° - （195° - α） - （α - 60°） = 45°.

本题利用旋转后的两个三角形全等为解决问题提供角的关系.旋转的图形是运动变化的，但变化中有不变的角度关系和线段关系，这需要同学们认识并掌握.

[模型总结]

1.一般情形：任意的等腰三角形

（1）如图2，等腰三角形ABC中，AC = BC，∠ACB = α.点D为三角形内一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转α，得到△ACE.这时△CDE为等腰三角形，且△CDE ∽ △CBA.

（2）如图3，等腰三角形ABC中，AC = BC，∠ACB = α.点D为三角形外一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转α，得到△ACE.这时△CDE为等腰三角形，且△CDE ∽ △CBA.

2.两种特殊情况：等边三角形和等腰直角三角形

（1）如图4，等边三角形ABC中，点D为三角形内一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转60°，得到△ACE，这时△CDE为等边三角形.

（2）如图5，等边三角形ABC中，点D为三角形外一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转60°，得到△ACE，这时△CDE为等边三角形.

（3）如图6，等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，点D为三角形内一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转90°，得到△ACE. 这时△CDE为等腰直角三角形.

（4）如图7，等腰直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，点D为三角形外一点，连接BD，CD，△BCD绕点C顺时针旋转90°，得到△ACE.这时△CDE为等腰直角三角形.

根据等腰三角形中的图形旋转变化可以解决一系列有关线段和角的几何问题，下面举例介绍.

[典例辨析]

例2 （2021·贵州·黔西南）如图8，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．

（1）求证：BD = CE.

（2）如图9，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC = ∠AFB = ∠AFE. 小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

分析：利用旋转前后对应角相等、旋转前后的两个三角形全等，为证明全等三角形提供条件.因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC = 60°，又因为∠DAE = 60°，所以△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到的，从而可证明△ABD ≌ △ACE，结论BD = CE可证.

解：（1）∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，

∴AD = AE，∠DAE = 60°.

∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC = 60°，

∴∠BAC = ∠DAE，∴∠BAD = ∠CAE.

在△ABD和△ACE中，

[AB=AC，∠BAD=∠CAEAD=AE，]，

∴△ABD ≌ △ACE（SAS），∴BD = CE.

（2）方法1：由（1）可知△ABD ≌ △ACE，则∠ABD = ∠ACE.

又∵∠AGB = ∠CGF，∴∠BFC = ∠BAC = 60°，∴∠BFE = 120°.

如圖10，过A作BD，CF的垂线段，垂足分别为点M，N，

∵△ABD ≌ △ACE，BD = CE，∴S△ABD = [12BD×AM=12CE×AN] = S△ACE，

∴AM = AN，∴FA平分∠EFG，

∴∠BFC = ∠AFB = ∠AFE = 60°. 故小颖的结论正确.

方法2：∵△ABD ≌ △ACE，∴∠ABD = ∠ACF.

又∵∠AGB = ∠FGC，∴∠BFC = ∠BAG = 60°.

如图11，在BF上截取BK = CF，连接AK.

∵△ABD ≌ △ACE，

∴∠ABK = ∠ACF.

在△ABK与△ACF中，[AB=AC，∠ABK=∠ACFBK=CF，]，

∴△ABK ≌ △ACF（SAS），

∴∠BAK = ∠CAF，AK = AF，

∴∠KAF = ∠CAF + ∠KAC = ∠BAK + ∠KAC = ∠BAC = 60°，

∴△KAF为等边三角形，∴∠AFB = 60°，

∴∠AFE = 180° - ∠BFC - ∠AFB = 60° = ∠BFC = ∠AFB. 故小颖的结论正确.

方法3：∵△ABD ≌ △ACE，∴∠ABG = ∠FCG.

又∵∠AGB = ∠FGC，∴△ABG ∽ △FCG，

∴[AGGF=BGGC].

∵∠AGF = ∠BGC，∴△AGF ∽ △BGC，

∴∠AFG = ∠ACB = 60°，

∴∠BFC = ∠AFB = ∠AFE = 60°. 故小颖的结论正确.