用二次函数解实际问题的三个注意

马爱平

一、要注意表述的严谨性

例1 （2022·湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：

（1）根据表中的数据在图1中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式.

（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其他成本）．①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w = 240（元）时的销售单价．

解析：（1）描点如图2，其图象近似于一次函数.设y = kx + b，把（20，30）和（25，25）代入可得k = -1，b = 50，∴y = -x + 50. 经检验知，其余三点满足这个解析式. （2）①w = （x - 18）（-x + 50） = -x2 + 68x - 900 = -（x - 34）2 + 256，∵-1 < 0，∴当x = 34时，w有最大值，即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；②当w = 240时，-（x - 34）2 + 256 = 240，（x - 34）2 = 16，∴x1 = 38，x2 = 30.∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴x = 30. 即w = 240（元）时的销售单价为30元.

点评：在用表格中的两组数据求出y与x的函数关系式后，要注意说明其他数据的适合性，谨防表述不严谨而出现错误.

二、要注意思路的合理性

例2 （2021·江苏·连云港）某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份. 该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润. 售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份. 如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．

解析：设[A]种快餐的总利润为[W1]元，[B]种快餐的总利润为[W2]元，两种快餐的总利润为[W]元，设[A]种快餐的份数为[x]份，则B种快餐的份数为[120-x]份. 根据题意得[W1=12-x-402×x=-12x2+32x]，[W2=8+80-120-x2120-x =] [-12x2+72x-1440]，∴[W=W1+W2=-x2+104x-1440=-x-522+1264]. ∵[-1<0]， ∴当[x=52]时，W取最大值1264. 故填1264.

点评：有考生误认为：当W1和W2分别取最大值时，它们的和W也取最大值，这种思路是错误的.很明显，W1，W2分别取最大值时的x值和W取最大值时的x值是不同的，前两者的最大值之和与后者的最大值也不一定相等.

三、要注意答案的全面性

例3 （2021·湖北·武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg. 生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg，每盒还需其他成本9元. 市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒產品的成本（成本 = 原料费 + 其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是[x]元（[x]是整数），每天的利润是[w]元，求[w]关于[x]的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过[a]元（[a]是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

解：（1）设[B]原料单价为[m]元，则[A]原料单价为[1.5m]元. 依题意，得[900m-9001.5m=100]，解得[m=3]. 经检验，[m=3]是原方程的根，[1.5m=4.5]. ∴每盒产品的成本为[4.5×2+4×3+9=30]（元）. 答：每盒产品的成本为30元．

（2）[w=x-30500-10x-60] [=-10x2+1400x-33 000].

（3）∵抛物线[w=-10x2+1400x-33 000]的对称轴为[x] = 70，开口向下，∴若[a≥70]，则x = 70时有最大利润，此时w = 16 000，即每天的最大利润为16 000元；若[60

点评：问题（3）中，由于字母a的取值变化，最大利润也在变化，不能直接由二次函数的性质得到a = 70时有最大利润w = 16 000，而要分类回答.