随机环境中受传染性病毒影响的两性分枝过程的若干极限性质*
2022-12-10任敏张光辉
任敏，张光辉
(宿州学院数学与统计学院，安徽 宿州 234000)
引言
为了更精准地描述物种繁衍模型，1968年，Daley首次引入两性分枝过程模型[1]，随后众多学者对该模型进行系统地研究，并取得一系列丰硕的研究成果[2-5].物种的繁衍受自然环境和社会环境等诸多因素的影响，为了描述更复杂的物种繁衍模型，一些推广的两性分枝过程模型被引入，如MOLINA,M.等人研究了变化环境中两性分枝过程的极限性质[6,7]，马世霞研究了随机环境中两性分枝过程的极限性质[8]，任敏给出随机环境中具有迁移两性分枝过程的极限性质[9]，李应求等人研究了随机环境中两性分枝过程的极限性质、矩收敛准则[10,11]，宋明珠等人研究了随机环境中可迁移两性分枝过程的极限性质[12]，任敏研究了随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程的马氏性和灭绝的充分条件[13]，等等.本文继续研究随机环境中受病毒传染性影响的两性分枝过程，给出过程每个配对单元条件均值增长率的极限性质和过程条件均值的上、下界.并研究了过程由此上界规范化后随机序列的若干极限性质以及各代雌性个体数适当规范化后的极限性质.
1 模型的介绍
jn,i,kn,i∈N,0≤n≤l,1≤i≤s,s∈N+,l∈N;
在定义1中fn,i和mn,i表示第n代第i个配对单元产生雌性和雄性后代数；且当第n代第i个配对单元中的雌性个体因感染病毒未治愈而死亡时，If,ni=0，即该配对单元不繁衍后代，当第n代第i个配对单元中的雌性个体没有感染病毒或感染病毒已治愈时，If,ni=1，即该配对单元正常繁衍后代，对雄性个体可类似定义Im,ni.Fn+1,Mn+1分别表示第n代所有配对单元繁衍的雌性和雄性后代总数，并由配对函数L(·,·)产生第n+1代的所有配对数Zn+1.
定义2 若配对函数L(·,·)满足对任意的k∈N+,xi,yi∈N有
则称配对函数L(·,·)是上可加的.
注1k组个体混在一起增加了不同组配对的可能性，因此k组混在一起配对比每组单独配对的配对总数要多，增加后代的繁衍数，故配对函数的上可加性符合物种繁衍的实情.
文中的一些记号和约定：
0≤jnl≤rl,l=1,2,…,i}
约定：(A1)对任意的θ∈Θ,β(θ),d(θ),b(θ)∈(0,1)，0 由rj(ξn)的定义可得 证明由rj(ξn)的定义、L(·,·)的上可加性以及在给定ξn的条件下{(fn,iIf,ni,mn,iIm,ni),i≥1}是独立同分布的，可得对任意的j∈N+有 定理证毕. 证明由rj(ξn)的定义、L(·,·)的上可加性以及在给定ξn的条件下{(fn,iIf,ni,mn,iIm,ni),i≥1}是独立同分布的可得 定理证毕. 推论1 对任意的n∈N+，有 (1) 下证对n+1有(1)式成立，由定理1和rj(ξn)的定义知 即(1)式左端对n+1成立，由定理2可得 即(1)式右端对n+1成立，从而(1)式对n+1成立.故对任意的n∈N+有(1)式成立. 推论证毕. 注2 对随机环境中的受传染性病毒影响的两性分枝过程，虽不能给出条件均值的具体表达式，但可以给出其上、下界. 证明由引理1 和定理1可得 (2) (3) 定理证毕 结合推论1知，对任意的n∈N有 所以有 由引理2和Jensen不等式可得 (4) (5) (6) 由(5)式和(6)式可得 定理证毕. 证明对任意的n∈N，由引理2和Jensen不等式可得 从而有 (7) 由推论1，可得 (8) 定理证毕. 又因为 定理证毕. 证明 由定义1和L(·,·)的上可加性可得 存在，且有 又因为对任意的j∈N+，有 (9) 由(9)式递推可得 由引理2得 (10) 由(10)式递推可得 于是由控制收敛定理得 即定理得证. 下证{Tn,n∈N}L2有界. 因为对任意给定的n∈N,{γk(ξn),k∈N+}是非增序列，由引理2 和Jensen不等式可得 证明由定义1可得 所以有 (11) 在(11)式两边取期望值得 定理得证. 本文首先研究了随机环境中受传染性病毒影响的两性分支过程的每个配对单元条件均值增长率的极限性质和过程条件均值的上、下界，其次给出过程适当规范化后的若干极限性质.推广了随机环境中两性分支过程的相关理论，接下来可以研究过程的大偏差、重对数律等极限理论.
2 条件均值增长率
6 结语
