例谈同构思想在解析几何中的妙用
2022-12-10金毅
金 毅
(内蒙古自治区呼和浩特市第二中学 010000)
“同构思想”是数学中非常有实战意义的数学思想,其基本内涵是:可以把某参数或代数式整体当做变量,则等式整体可看做方程或函数. 也就是说,虽然变量不同,但是代数结构相同.这一思想在解析几何中被广泛应用,体现在“整体代换、设而不求”的解题过程中.
1 同构于一次方程,设而不求
例1已知抛物线x2=2py(p>0),过抛物线外一点(x0,y0)引抛物线的两条切线,切点为A,B,求直线AB的方程.
对比两个表达式
故直线AB的方程为x0x=p(y0+y).
点评判断同构的依据本质是依托于“方程的解”. 也就是说,A,B两点的坐标是直线x0x=p(y0+y)的两个解,这样就可以把两个代数表达式统一在一个一次方程上. 在几何上,体现为“两点确定一条直线”. 可见,解析几何中的同构最终体现在代数表达式上,这种同构的发掘是从表达式的一致与对称上寻找突破口. 因此,若想灵活运用同构思想,则需要充分挖掘解析几何在代数运算上的特征,对表达式进行充分的计算变形.
例2已知双曲线C:x2-y2=4,过点P(1,t)(|t|<1)作C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,求证:直线AB过定点.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),首先研究直线PA,根据题意,直线PA的斜率必然存在,设为k,可得直线PA的方程为y-y1=k(x-x1).
可得二次方程(k2-1)x2+2k(y1-kx1)x+(y1-kx1)2+4=0,
Δ=4k2(y1-kx1)2-4(k2-1)[(y1-kx1)2+4]=0.
即x1x-y1y=4.
将P(1,t)代入,得到x1-ty1=4.
同理,可得x2-ty2=4.
比较两个等式,可得它们同构于一次方程x-ty=4,这个方程表示直线AB,根据方程,直线AB过定点(4,0).
点评本题对同构的判断依然与例1相同,依然是A,B两点坐标是方程的解. 在对切线方程的处理上,本题与例1稍有不同,例1通过求导处理,例2通过联立处理. 处理的目的是为了简化表达式,便于找到同构关系.
2 同构于二次方程,设而不求
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过点P2且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率和为-1,证明:l过定点.
对比这两个等式我们发现,这两个等式中,k1,k2相当于二次方程4(m2-1)x2+8k(1-m)x+(m-1)2+4k2=0的两个实数根.
所以m=-2k-1.
所以直线AB方程可写为y=kx-2k-1,其过定点(2,-1).
(x1-t,y1)=λ(-x1,1-y1).
整理得到3λ2+8λ+4-4t2=0.
同理可得3μ2+8μ+4-4t2=0.
3 同构于函数,设而不求
图1
解析根据椭圆的第三定义,得
同时有kBM=-k2,
4 总结与反思
从以上各例的分析来看,想要在圆锥曲线中灵活运用同构思想,需要注意以下方面:
4.1 相同的计算方式往往暗示同构式的出现
当我们发现需要用相同的计算方式来处理点和直线时,有极大的可能性出现同构. 所以,在审题时,要恰当地把几何位置关系转换成对应的代数表达式,再从代数表达式中寻求同构式.
4.2 确定同构式的关键是“找相同,比不同”
首先,当得到两个类似的代数表达式后,一定要对比两个表达式,找出相同部分,比较不同部分. 往往相同部分决定了同构式,不同部分决定了未知数或变量.如果是同构于某一函数,要明确自变量的取值范围.
综合以上分析,我们要充分理解同构思想,争取把代数运算的难度降低,更加灵活地解决解析几何问题.