巧解方程组 拓展数学思维

卢宗凯

一、利用转化思想解方程组

解二元一次方程组的本质思想是转化——消元（包括代入消元法和加减消元法）. 而在实际解题过程中还有一些解题技巧可以学习与思考.

1. 化分数系数为整数系数后求解

例1 解二元一次方程组：[x60+y30=6.5，①x50+y40=6.    ②]

解析：原方程组可化为[x+2y=390，4x+5y=1200，]

再利用加减消元法或代入消元法解得[x=150，y=120.]

2. 巧设待定系数

例2 解二元一次方程组：[x3=y2，           ①x+3y=27.②]

解析：设[x3=y2=k，]则x = 3k，y = 2k，代入[②得]3k + 3 × 2k = 27，则k = 3.

因此，[x=9，y=6.]

二、绕过未知数，直接求参数

若二元一次方程组中未知数的系数或常数项是字母，可根据题目特点进行巧妙的转化.

例3 如果二元一次方程组[3x+y=m，x+3y=3m-4]的解中x与y的和等于5，则m =.

解析：不用求x与y的值，而是将两个方程相加得4x + 4y = 4m - 4，

即x + y = m - 1.

由x + y = 5得m - 1 = 5，则m = 6. 故填6.

例4 若方程组[4x+3y=1，ax+（a-1）y=3] 的解x与y相等，则a的值是多少？

解析：第1个方程的两边同时乘3，得12x + 9y = 3.

由第2个方程的右边是3，可得12x + 9y = ax +（a - 1）y，

则（12 - a）x = （a - 10）y.

由x = y，得12 - a = a - 10，解得a = 11.

三、利用参数，重新构建二元一次方程组

对于某些带参数的二元一次方程组，在求解的过程中可以使用参数进行等量代换，重组方程组后求解.

例5 已知方程组[3x+5y=a+2，2x+3y=a]的解中x与y的和等于8，求a的值.

解析：此题的常规解法是利用加减消元法把x和y的值用a表示，再去解一个关于a的方程，但此题可以另辟蹊径.

把第2个方程代入第1个方程中，可得3x + 5y = 2x + 3y + 2.

重新构造方程组为[x+2y=2，x+y=8，]解得[x=14，y=-6.]

将[x=14，y=-6]代入2x + 3y = a中，可得a = 10.

四、列二元一次方程组巧解应用题

对于某些实际问题，如“雞兔同笼”类应用题，列二元一次方程组求解更容易.

例6 一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，绳子多4尺（一种长度单位，中国叫“市尺”. 3尺 = 1米）；若环绕大树4周，则绳子又少3尺. 求这根绳子多长？环绕大树一周需要多少尺？

解析：设绳子为x尺，环绕大树一周需要y尺，

由题意得[3y+4=x，4y-3=x，]解得[x=25，y=7.]

则绳子为25尺，环绕大树一周需要7尺.

（作者单位：辽宁省实验学校）