次解析集的正规嵌入

许静波，周 彤

(吉林师范大学 数学与计算机学院，吉林 四平 136000)

分类是奇点理论中一个著名的问题，其中正则函数芽的bi-Lipschitz分类近年来被广泛研究.E.Bierstone等[1]利用半解析集、次解析集的基本性质，给出了对纤维切割引理的简单证明，也对次解析集的补集定理进行了阐述；L.Birbrair等[2-4]给出了次解析平面函数芽bi-Lipschitz接触等价性的一个完全不变量，并证明了不变量的存在意味着这个等价性没有模.bi-Lipschitz分类介于拓扑分类和解析分类之间，并且在Lipschitz分类下，诱导度量中的等价性与长度度量中的等价性是相同的.郭青松[5]将次解析集与bi-Lipschitz映射的理论相结合，研究了二维次解析集在bi-Lipschitz等价关系下的分类，为本文研究准备了丰富的基础知识；L.Birbrair和T.Mostowski[6]研究了半代数集的正规嵌入，对本文思路有着引导的作用.本文基于A.Parusinski等[7-12]对pancake度量的研究，借助其将次解析集的度量性质与bi-Lipschitz分类问题联系起来.

1 预备知识

设X是n的次解析连通子集.由于每个连通次解析集都是弧连通的，所以在X上定义以下两个度量，第一个是n的诱导度量，用dind表示；第二个是长度度量，定义如下：设x1，x2∈X，且Γ是连接x1和x2的所有分段光滑曲线γ的集合；即γ：[0，1]→X使得γ(0)=x1，γ(1)=x2.令其中l(γ)表示γ的长度.

定义1.1如果度量dind和dl是等价的，则集合X称为在n中的正规嵌入.也就是说存在一个常数C>0，使得对于每个x1，x2∈X，有dl(x1，x2)≤Cdind(x1，x2).

性质1.1在每个分层弧连通子集Y⊂n中定义正规嵌入，如果X正规嵌入Y，Y正规嵌入Z，则X正规嵌入Z.

定义1.2设x0∈X，如果存在一个以x0为心，半径为r的球Bx0，r，使集Bx0，r∩X是正规嵌入，则称集合X在x0处是局部正规嵌入的.

定义1.3设X是次解析集，Y⊂X.如果存在一个常数C>0使得对所有x∈X和y∈Y，有dl(x，y)≤Cdind(x，y)，则称Y是相对正规嵌入在X中.

命题1.1设X是一个紧集，局部正规嵌入在每个点x∈X上，则X是正规嵌入.

命题1.2设X⊂n是一个闭次解析集，存在子集{Xi}的有限集，使得

(1)所有的Xi都是X的次解析闭子集；

(3)对每个i≠j，dim(Xi∩Xj)

(4)Xi正规嵌入在n中.

则集合Xi称为pancake的，满足条件(1)—(4)的分解称为pancake分解.

该命题在文献[9]和[10]中有类似证明.

定义1.4设X⊂n是一个闭连通次解析集，是X的pancake分解.考虑x1、x2∈X，{y1，y2，…，yk}是一系列满足以下条件的点：

(1)y1=x1和yk=x2；

(2)每对yi，yi+1都在一个pancakeXj中；

(3)如果yi，yi+1∈Xj，则ys∉Xj，对s≠i，s≠i+1.

ρi(x)=dp(x，Xi)

定义函数

ρi：X→，

其中dp是pancake距离.Γi⊂n+1表示ρi的图，记μi(x)=(x，ρi(x)).

定义1.6如果存在一个同胚F：X1→X2和两个正的常数K1和K2，对每个x，y∈X1，使得

K1d1(x，y)≤d2(F(x)，F(y))≤K2d1(x，y)，

则两个度量空间(X1，d1)和(X2，d2)称为bi-Lipschitz等价的，其中同胚F为bi-Lipschitz映射.

2 主要定理及证明

为了完成定理的证明，首先给出几个引理.

引理2.1若存在K>0使得对于任意x1，x2∈X，则有

dp(x1，x2)≥Kdl(x1，x2).

证明设K=minKj，其中Kj是对应于pancakeXj的常数.所以，对每个y={y1，y2，…，yk}，有

dind(yi，yi+1)≥Kdl(yi，yi-1)，

因此

引理2.2若对于每个x1，x2∈X，存在y∈Yx1，x2，则有dp(x1，x2)=l(y).

路面基层检测合格及模板安装完成后，进行钢筋网安装。先将横筋按设计尺寸布置于底层，再将纵筋布置横筋上方，在此过程中要注意钢筋在板厚方向的高度，预留足够的保护层厚度。钢筋布置完成后进行钢筋连接，纵向钢筋接头采用电弧单面焊接，搭接长度为16cm，焊接接头处应错开布置，接头连线与路面行车方向成45°夹角，纵向钢筋与横向钢筋交叉处采用钢丝绳绑扎。采用φ16钢筋弯拉制做成“Ω”形置于横向钢筋下作为钢筋支架，并采用电焊连接，横向布置间隔约为150cm，纵向布置间隔约为120cm。

注序列y∈Yx1，x2使dp(x1，x2)=l(y)称为对应于x1，x2的最小化序列.

推论2.1pancake度量是定义在X×X上的次解析函数.

结合文献[6]类比给出如下推论.

推论2.2设X是紧次解析集，设LX是关于长度度量与X等价的所有次解析集的集合.定义LX上的半序关系X2X1，若存在关于长度度量的bi-Lipschitz和诱导度量的lipschitz映射F：X1→X2，则LX包含唯一的关于诱导度量的bi-Lipschitz等价的最大元素，称这个元素是正规嵌入的.

定理2.1函数dp：X×X→是次解析的并且在X中定义了一个度量.

dp(x1，x3)≤l(z)≤l(y3)=l(y1)+l(y2)=dp(x1，x2)+dp(x2，x3).

定理2.1即证.

定理2.2pancake度量与长度度量是bi-Lipschitz等价的.

dl(x1，x2)≥dp(x1，x2).

定理2.2即证.

引理2.3映射μi：X→Γi具有以下性质：

(1)μi是关于X和Γi上长度度量的一个bi-Lipschitz映射；

(3)μi(Xi)是相对正规嵌入在μi(X)中.

(2)存在一个依赖于n的常数B，使得对任意x1，x2∈Xj有

max{dind(x1，x2)，|ρi(x1)-ρi(x2)|}≤Bdind(μi(x1)，μi(x2)).

因为Xj是一个pancake，L>0，得到

dl(x1，x2)≤Ldind(μi(x1)，μi(x2))，

由(1)，映射μi是bi-Lipschitz的.对任意x1，x2∈Xj，K>0，有

dl(μi(x1)，μi(x2))≤Kdind(μi(x1)，μi(x2)).

(3)实际上，通过(1)，找到K1>0即可，使得

dl(x，y)≤K1dind(μi(x)，μi(y)).

所以

dp(x，y)≤3dind(x，y).

由定理2.2有

dl(x，y)≤3Cdind(μi(x)，μi(y))，

其中C是一个常数，满足dl≤Cdp.再令ρi(y)>dind(x，y)，有

对于依赖n的常数B>0，有

ρi(y)≤max{dind(x，y)，ρi(y)}≤Bdind(μi(x)，μi(y)).

所以

dp(x，y)<3Bdind(μi(x)，μi(y)).

通过长度度量与pancake度量的等价性，对K1=3Cmax{1，B}，同理可得到

dl(x，y)≤Kdind(μi(x)，μi(y)).

注集合μi(x)称为X上的i-tent，映射μi称为i-tent过程.

引理2.4设Y⊂X相对正规嵌入在X中，则μi(Y)相对正规嵌入在μi(X)中.

证明与引理2.3中(2)的证明相同.

接下来，给出本文的主要定理.

定理2.3设X是n的紧连通次解析子集，对于每个ε>0，则存在一个次解析集Xε⊂m使得

(1)关于长度度量，Xε是与X等价的次解析bi-Lipschitz；

(2)Xε正规嵌入在m中；

(3)X和Xε之间的Hausdorff距离小于ε.

3 结语

奇点的度量理论将集合视为度量空间，该理论中存在几个分类问题，本文主要考虑的是bi-Lipschitz分类问题.通过pancake分解，定义pancake度量，即一个与长度度量等价的次解析度量；再由tent过程，得到次解析集与一些正规嵌入集的关系，并给出了证明.