对电磁感应中电容器放电问题的定量研究——以2022年高考全国甲卷第20题为例

辛 亚

（江苏省梁丰高级中学，江苏 张家港 215600）

电磁感应中电容器放电问题是近年来各地模考、高考的热点之一.2022年高考全国甲卷选择题第20题考查了这一考点.这题的选项要求学生能够对电容器放电过程中各个物理量的变化给出定性分析即可，但是为了更好地分析这类问题，我们还需要适度的定量研究，甚至要画出图像.这样才能更直观地看出各个物理量的变化规律.

1 原题展示

例题.（2022年高考全国甲卷第20题）如图1所示，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻.质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中.开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后

图1

（A）通过导体棒MN电流的最大值为.

（B）导体棒MN向右先加速，后匀速运动.

（C）导体棒MN速度最大时所受的安培力也最大.

（D）电阻R上产生的焦耳热大于导体棒MN上产生的焦耳热.

2 定性分析

本题考查了电磁感应中电容器放电问题，虽然这是一个常见模型，但又不完全相同，本题具有较高的综合性和创新性，精巧的一点是考查了基于能量观点解决问题.通过对该模型的定性分析即可得出正确答案，分析如下.

（B）当u C＞Blv时，导体棒MN加速运动；当u C＝Blv时，导体棒MN速度达到最大值；之后，导体棒MN能不能匀速运动？假设匀速，电容器与MN及R构成回路，电阻R两端有电势差，电阻R上就会有电流，那么电阻R将会一直产生电热，能量会一直消耗，只要MN还有速度，R上就会继续产生电热，直到MN停止为止.由能量守恒可知，最终MN速度为0，假设不成立，故B错误.B选项考查了学生的推理能力和创新能力，显然B选项的分析较困难.

（C）由以上分析可知，当u＝Blv时，MN上电流瞬时为0，安培力为0，此时MN速度最大，故C错误.C选项考查了学生物理观念和科学思维，体现了基础性和综合性.

（D）在导体棒MN加速阶段，由于MN反电动势存在，故MN上瞬时电流小于电阻R上的瞬时电流，因为瞬时电流的变化，利用微元法，由Q＝∑i2RΔt可知，加速过程QR＞Q MN；在MN减速为0的过程中，电容器的放电电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可知此时也是电阻R的瞬时电流大.综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量，故选项（D）正确.故选（A）、（D）.选项（D）选项综合性较强，导体棒MN的运动要分两个阶段来分析，较为复杂，它考查了学生推理论证的能力和严谨的分析问题能力.

对于导体棒MN速度达到最大值之后的运动情况，我们是采用了假设法结合能量守恒的观点来论证导体棒MN做减速运动，从而否定了（B）选项，但是我们还是不能详尽的说明导体棒MN的运动情况以及电阻R和MN上电流的变化规律，为了解决这一问题，我们不妨从定量的角度对其研究.

3 定量研究

合上开关S后，电容器放电，t时刻，电容器带电量为q，导体棒MN在安培力的作用下速度方向向右，大小为v，流过电阻R和导体棒MN的电流分别为i1、i2，以t＝0时刻的各处电流流向为正方向，可知电流关系

将（4）式分别代入（2）、（3）两式后，对时间t分别求导可得

对导体棒MN，由牛顿第二定律可知

将（7）式代入（6）式后，可得

将（5）式变形为

将（9）式代入（8）式并化简，可得

（10）式为二阶常系数齐次线性微分方程.为了简化运算，对式中各物理量赋值，令Q＝1 C，C＝1 F，R＝1Ω，B＝1 T，l＝1 m，m＝1 kg，则（10）式简化为

其特征方程为（12）式满足Δ＞0，说明特征方程有两根，则i1的通解为

将（13）式代入（9）式求出i2的通解为

根据初始条件，t＝0时刻

4 画图模拟

利用计算机软件Matlab对电流的变化数值模拟，使结果可视化.

从图2可以看出，R上流过的电流逐渐减小，但是导体棒MN上流过的电流变化较复杂，在0—0.8 s（约）电流减小；0.8 s以后，电流反向，先增大后减小，最终减为0.安培力方向与电流方向同步变化，从而影响速度的变化.产生这一现象的原因是在0—0.8 s（约）时间内，电容器电压大于导体棒MN上的反电动势，电容器对电阻R和导体棒MN放电；0.8 s以后，导体棒MN也相当于电源，和电容器一起在R上产生同向电流.对速度变化数值的模拟如图3所示.

图2

图3

从图3可以看出，导体棒MN的速度变化规律是先增大后减小，最终减为0.在这里我们给出了速度的变化规律，这与我们前面定性分析的结果完全一致.

5 结束语

这个考题考查学生对电路情况、受力情况和运动情况进行分析和推理的能力，要求学生具备较强的运动与相互作用观念、能量观念，学生通过定性分析可以完成.但对于教师既要有符合学生的定性分析，还要有让自己信服的定量研究.这样才能对问题有深入而透彻的认识.以上通过对各个物理量赋值，利用Matlab对其复杂的数学关系数值计算并绘制图线，从而实现对这一问题的定量研究.