带电粒子在磁场中做螺旋运动类试题分类剖析

徐华兵

（浙江省金华第一中学，浙江 金华 321015）

带电粒子在磁场中做空间曲线运动类试题在各大考试中常有出现.由于它能很好地考查学生空间想象能力及高中物理中运动的合成与分解相关知识而深受命题者青睐.螺旋运动是空间曲线运动的一类特殊情形，它可以分解为某一平面内的匀速圆周运动和垂直于该平面的直线运动.由于匀速圆周运动和直线运动的运动学规律简单，易于求解，所以高中阶段带电粒子在磁场中做空间曲线运动类试题大多以带电粒子在磁场中做螺旋运动的形式呈现.本文根据带电粒子在磁场中做螺旋运动类试题中的螺旋线是否等距将带电粒子在磁场中做螺旋运动类试题分为带电粒子在磁场中做等距螺旋运动类试题和带电粒子在磁场中做不等距螺旋运动类试题.并分类剖析每类试题的特征及其一般求解方法.

1 带电粒子在磁场中做等距螺旋运动类试题剖析

带电粒子在磁场中做等距螺旋运动类试题是指带电粒子在磁场中运动的空间螺旋线螺距相等类试题.求解这类试题时一般可将带电粒子的运动分解为沿某一平面的匀速圆周运动和垂直于该平面的匀速直线运动.再应用运动的合成与分解知识及分运动与合运动关系求解.

例1.某粒子分析装置如图1所示，其基本结构由发射筛选装置Ⅰ以及分析装置Ⅱ组成.装置Ⅰ中粒子源S持续地沿速度选择器AC的中心线射出质量为m，电荷量为q的带正电粒子，粒子经点D1，沿与平面D1E1E2D2平行的方向射入装置Ⅱ.由于装置Ⅰ可在平面内绕D1转动，因而粒子飞入D1点时与D1D2夹角θ的关系为，θ可在0°到60°之间变化，且飞入D1点的粒子数按角度均匀分布.分析装置Ⅱ中有两平行于x Oy平面的正方形平面D1E1F1G1与D2E2F2G2，边长为，两平面距离为d.平面间存在一沿z轴负方向的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.平面D2E2F2G2是粒子接收屏，粒子击中屏幕后会发出荧光从而获得分析粒子的相关数据.不计粒子重力及其相互作用.（1）已知速度选择器中的电场强度E不变，为保证粒子在速度选择器中做匀速直线运动，求速度选择器中磁场的磁感应强度B0与θ的关系；（2）求θ＝30°时，粒子击中位置与D2点的距离；（3）求打到屏幕上的粒子数与飞入D1的粒子数的比值.

图1

图2

变式1.如图3所示，S为一离子源，它能机会均等地向纸面内各个方向持续大量地发射正离子，离子的质量、电荷量和速率均为m、q和v，在离子源的右侧有一半径为R的圆屏，OO′是通过屏中心O并垂直屏面的轴线，S位于轴线上，空间有一平行于轴线向右的匀强磁场，磁感应强度为B，发射的离子中，有的离子不论SO的距离如何，总能打在圆屏上.求这类离子占离子总数的比例.（不考虑离子间的碰撞及相互作用）

图3

点评：等距螺旋运动一般可分解为某一平面内匀速圆周运动和垂直该平面的匀速直线运动，遵循分运动与合运动相应规律.

2 带电粒子在磁场中做不等距螺旋运动类试题剖析

带电粒子在磁场中做不等距螺旋运动类试题是指带电粒子在磁场中运动的空间螺旋线的螺距不相等.这类带电粒子在磁场中的不等距螺旋运动一般可分解为垂直于磁场方向平面内的匀速圆周运动和沿磁场方向的匀加速直线运动.所以在求解这类试题时一般先将其转化为分运动，先分析分运动规律，再进行合成求解合运动规律.

例2.如图4所示，真空中的立方体边长为0.4 m，底面中心处有一水平各个方向均匀发射α粒子的点状放射源（不考虑其他方向产生的α粒子），所有α粒子的速度都是v＝3.0×106m／s，已知α粒子的电荷量与质量之比，立方体内有竖直向上的匀强电场和匀强磁场.abfe面放有一个屏，该屏可以沿z轴左右平移.（1）要使所有粒子均能从上表面离开，求匀强磁场的最小值B1；（2）调整匀强磁场大小，当匀强磁场B2＝1 T时，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，求所加匀强电场的最大值和离开P点时速度方向与defg水平面的夹角；（3）保持匀强磁场B2＝1 T，匀强电场为第（2）问中的最大值，现让abfe屏向左沿－z方向移动0.11 m，求abfe屏上射出粒子x坐标取得最大值和最小值时对应点的y轴坐标.

图4

图5

变式2.如图6所示，一些质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从一线状粒子源射出（初速度可视为0）经过电场U加速，粒子以一定的水平初速度从MS段垂直射出（S为MF中点），进入边长L的正方体电磁修正区内（内部有垂直于面MPRG的匀强磁场B与匀强电场E）.距离正方体底部L处有一与RNAG平行的足够大平板，能吸收所有出射粒子.现以正方体底面中心O在平板的垂直投影点为原点，在平板内建立直角坐标系（其中x轴与GR平行）.所有带电粒子都从正方体底面离开，且从M点进来的粒子在正方体中运动的时间为.（1）求粒子射出正方体电磁修正区后的速度；（2）若满足关系式，求从S点入射粒子最后打到平板上的位置y坐标.

图6

点评：带电粒子在磁场中做不等距螺旋运动类试题中，一般空间中同时存在电场和磁场，磁场使带电粒子受到洛伦兹力改变速度方向，电场使带电粒子加速.此时运动可分解为垂直磁场方向的匀速圆周运动和沿电场方向的匀加速直线运动.

带电粒子在磁场中做空间螺旋运动类试题在高中物理中常有出现，学生在求解这类试题时往往感觉较难.笔者将高中常见的带电粒子在磁场中做空间螺旋运动类试题归为两大类，等距螺旋运动类试题和不等距螺旋运动类试题.分类剖析每类试题特征及其一般求解方法，无论带电粒子在磁场中做等距螺旋运动还是不等距螺旋运动，求解这类试题一般都用运动的合成与分解方法求解.化空间曲线运动为平面运动，先研究平面内的匀速圆周运动和直线运动，再应用合运动与分运动规律求解此空间曲线运动.以期学生在求解这类试题时有所帮助，广大同行教师在讲授这类试题有规律可循.