不畏浮云遮望眼 只缘“构造”在心头——几种构造函数的方法在高考解题中的运用

周 萍

(江苏省昆山经济技术开发区高级中学 215300)

函数是高中数学的重要内容，近几年间构造函数法在高考试题中屡次出现．本文介绍几种构造函数的方法来解决高考数学试题．

1 用同构法构造函数

1.1 简单的函数构造

点评通过观察，这两个方程相似，所以只需结合三角公式将第二个方程进行适当的变形，便可得出与第一个方程相同的形式，再构造函数．

例2(2021年南通一模)若alna>blnb>clnc=1，则下列关系正确的是( )．

A．eb+clna>ec+alnb>ea+blnc

B．ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

C．ea+blnc>ec+alnb>eb+clna

D．ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

1.2 对称法构造函数

例3(2019年郑州三模)已知f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意x∈R，有f(x)-f(-x)=x3，在(0,+∞)上有2f′(x)-3x2>0，若f(m-2)-f(m)≥-3m2+6m-4，则实数m的取值范围是( )．

A．[-1,1] B．(-∞,1]

C．[1,+∞) D．(-∞,-1]∪[1,+∞)

1.3 ex与ln x型同构式构造函数

此类同构式常用形式有xex和xlnx，即xex=eln xex，xlnx=(lnx)eln x；还有x+ex和x+ lnx，即x+ex=eln x+ex，x+lnx=eln x+lnx．

A．[1,+∞) B．[e,+∞)

例5(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

点评同构式函数其实是复合函数的另一种改写方式，只要复合函数能解决的问题，同构式基本可随之解决．近几年高考中的一些不等式恒成立求参数范围问题、零点存在问题及不等式证明中，用同构式的方法屡次出现．

以上构造函数的方法主要可通过因式分解、移项、通分、除以同因式、两边取对数等手段，将方程或不等式“改头换面”，使其变成结构相同的方程或不等式，亦或是复合函数形式等，进而构造出较易解决的新函数．这就要求学生善于观察题设中的函数形式，挖掘其本质，并熟悉常见的函数形式，抽丝剥茧，系统分析．

2 用放缩法构造函数

在高中压轴题中，不等式的证明或者参数范围的求解往往蕴含较复杂的形式，需要利用不等式的传递性，将原有形式进行放大或缩小，进而简化求解过程．高中阶段最常用的有三种放缩，其原理都是利用曲线的切线，将指数、对数、三角函数放缩成一次函数形式．

2.1 基于指数放缩ex≥x+1构造函数

例6(2021年苏州期初调研)已知函数f(x)=xeax-lnx，其中a>0．

(1)略；(2)对于给定的常数a，若f(x)≥bx+1对x∈(0,+∞)恒成立，求证：b≤a．

点评本题函数结构较复杂，所以先“同构”，使得变量统一成ax+lnx这一整体，再立足于指数放缩式ex≥x+1，得到eax+ln x≥ax+ lnx+1，最终达到消除变量的目的．

2.2 基于对数放缩x-1≥ln x构造函数

例7(2021年南京一模)设函数f(x)=ax+e-x(a>1)．

(1)求证：f(x)有极值点；

(2)设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n-m的最小值．

点评本题中涵盖除变量x外的某些参数，受其结构和参数的影响，其处理步骤无法顺利进行，所以采用对数放缩x-1≥lnx，简化求解过程．

2.3 基于三角放缩sin x≤x≤tan x构造函数

例8(2021年八省联考)已知函数g(x)= ex+sinx+cosx．

(1)略；(2)若g(x)≥2+ax，求a．

当x<0时，同理可得a≥2，故a=2．

点评本题将三角放缩和指数放缩完美结合，化曲为直，使放缩这一构造函数的方法在导数不等式的求解中大放异彩．

3 极值点偏移条件下的函数构造

在“极值点偏移”条件下构造函数，一般用于f(x)是连续函数，在(x1,x2)上有唯一极值点x0，且在f(x1)=f(x2)成立的前提下，x1,x2与极值点x0之间不等关系的证明．处理这类问题主要有以下两种方法.

3.1 主元对称化构造函数

例9(2021年新高考卷)已知f(x)=x(1- lnx)．