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2022年全国高考数学乙卷导数压轴题的简单解法

2022-12-04曹会洲

中学数学杂志 2022年7期
关键词:压轴切线交点

曹会洲

(安徽省定远中学 233200)

2022年全国高考数学乙卷第21题是一道导数压轴题,题目如下:

已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x,其中a∈R.

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)若f(x)在区间(-1,0)和(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

本题第(1)题较容易,不再赘述.以下重点讨论第(2)题,给出一个简单解法:

由题意知,f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点⟺方程ln(1+x)+axe-x=0在区间(-1,0),(0,+∞)各有一个实根⟺函数g(x)=exln(1+x)与y=-ax的图象在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个交点.

至此可以作出g(x)的大致图象,如图1所示.又g′(0)=1,所以g(x)在x=0处的切线方程为y=x,要使函数g(x)=exln(1+x)与y=-ax的图象在区间(-1,0),(0, +∞)各恰有一个交点,则-a>1,从而a<-1.

图1

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