探究神奇的勾股定理

文／万广磊

勾股定理是几何学中一颗璀璨夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，在生活中有着极其广泛的应用，在中考试题中也大放异彩。在本章，我们将一起探究神奇的勾股定理。

一、总结和归纳本章内容的结构之美

在本章的学习中，同学们可以类比轴对称研究勾股定理：从生活中提炼直角三角形模型→通过画图归纳与验证勾股定理→通过图形变换理解勾股定理的判定方法→回归生活，运用勾股定理解决问题。具体说来，我们将建立如图1 所示的知识结构，这也体现了学习内容的结构美。

图1

二、感受和体会中国优秀传统文化之美

中国是发现和研究“勾股定理”最早的国家之一。最早在约公元前1120 年，商高就发现了勾股定理，因此，勾股定理在中国又被称为“商高定理”。三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明方法。后来赵爽创制了“勾股圆方图”，刘徽用“青朱出入图”进行了证明，梅文鼎在《勾股举隅》中给出了勾股定理的证明方法，华蘅芳在少年时就给出了22 种证明方法，罗士琳也有探究勾股数的4 种方法，他们都有自己独到的创新之处。

三、探索和归纳经典问题中的思维之美

在证明勾股定理的方法中，许多都运用了数形结合的思想和“算两次”的思想（也称“富比尼原理”）；在证明勾股定理的逆定理时，数学家们则运用“构造法”“同一法”进行证明。

在应用勾股定理解决问题时，我们会经常用到方程思想。在已知一条直角边或者斜边的情况下求动点问题，我们要设未知数表示出另外两条边；在同高或共边的两个直角三角形中，我们要用到“算两次”的方法，设未知数构建方程求解。

例1如图2，在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15，求△ABC的面积。

图2

图3

【分析】如图3，过点A作AH⊥BC于点H。设BH=x，我们可以根据勾股定理构建方程。因 为AH2=AB2-BH2=AC2-CH2，所以132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，即BH=5，AH=12。所以

在解决立体图形问题时，我们通常用到转化与化归的思想，将立体图形的问题转化为平面图形的问题。

例2如图4，圆柱的高为5 厘米，底面半径为4 厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少呢？（π值取3）

图4

图5

【分析】图5 是圆柱的平面展开图。连接AB，AB的长就是爬行的最短路程。因为圆柱的高BC为5 厘米，底面半径为4 厘米，所以AC=12 厘米。根据勾股定理，可得AB=13 厘米，所以蚂蚁爬行的最短路程是13 厘米。