double-order Hilfer分数阶共振边值问题解的存在性
2022-11-28孟凡猛江卫华郭春静
孟凡猛，江卫华，郭春静
(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)
分数阶微分方程广泛用于解决物理、化学、经济等学科的实际问题[1-5]。边值问题研究起源于应用数学和物理领域[6-8]，弹力稳定性理论中很多问题都可以采用边值问题方法加以解决。因此，分数阶微分方程边值问题受到很多专家和学者的关注[9-12]。
许多研究者研究了常见的Riemann-Liouville导数和Caputo导数的边值问题。例如，WANG等[13]研究了Riemann-Liouville分数阶微分方程三点边值问题
解的存在性，其中1<α<2，0<ξ<1，ηξα-1=1。将共振边值问题转化为非共振边值问题，再运用不动点定理，可得到Riemann-Liouville分数阶微分方程三点边值问题解的存在性。TANG[14]研究了共振情形下Caputo分数阶微分方程四点边值问题
解的存在性，其中1<α≤2，0<ξ,η<1。运用Mawhin的重合度理论，可得到共振情形下Caputo分数阶微分方程四点边值问题解的存在性。HILFER[15]对Riemann-Liouville导数和Caputo导数进行了推广，得到介于这2个导数之间且包含这2个导数的Hilfer分数阶导数。具有Hilfer导数的分数阶微分方程在近10年取得了一些成果[16-19]。RI等[20]研究了共振情形下Hilfer分数阶微分方程多点边值问题
其中φ1(t),φ2(t)∈C[0,T]，ζ0(x)∈C[0,l]。文献详细介绍了广义Hilfer导数的概念，给出了它的拉普拉斯变换公式，讨论了反常扩散方程边值问题的封闭解，但并没有详细说明double-order Hilfer分数阶微分方程边值问题的可解性问题。
目前，研究人员已经对Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分方程边值问题的可解性进行了广泛研究。从文献来看，尚未对共振情形下具有double-order Hilfer导数的分数阶微分方程边值问题展开研究。因此，基于前人的研究基础，笔者研究共振条件下double-order Hilfer分数阶微分方程积分边值问题
(1)
1 预备知识
为了方便起见，引入一些符号和定理。
设X，Y是实Banach空间，L:domL⊂X→Y是指数为零的Fredholm算子，P:X→X和Q:Y→Y是连续投影算子，且满足ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ。由此可知，L:domL∩KerP→ImL是可逆的，用Kp表示它的逆。
1)∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1)，Lu≠λNu；
2)∀u∈KerL∩∂Ω，Nu∉ImL；
定义2[5]函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为
其中等号右边是在(0,+∞)上逐点有意义。
定义3[5]函数y:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为
其中等号右边是在(0,+∞)上逐点有意义，n=[α]+1。
定义4[21]函数y:(0,+∞)→R的α,β阶δ型double-order Hilfer分数阶导数定义为
(2)
其中(m-1)<α 注1[21]： 定义5[5]对任意的0≤η<1，函数y的加权空间定义为 Cη(0,1]:={y|tηy(t)∈C[0,1]}， u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n， 其中ci∈R，i=1,2,…,n，n=[α]+1。 引理3[5]如果α>0，β>-1，且β≠α-i，i=1,2,…,[α]+1，那么 引理4[5]如果α>0，β>0，且y∈L1(+)，那么 引理5[5]如果α>β>0，且y∈L1(+)，那么 特别地，当β=k∈且α>k时，有 引理6[26]在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为2个增函数之差，即存在2个增函数h(x)和g(x)，使得f(x)=h(x)-g(x)。 设X=Cn-γ(0,1]，Y=C[0,1]。 假设以下条件成立。 (H2) 映射f:(0,1]×R→R满足Carathéodory条件：对几乎所有的t∈(0,1]，f(t,x)是x的连续函数，对每一个x，f(t,x)是t在(0,1]上的可测函数，并且对∀r>0，存在φr∈Y，满足|f(t,x)|≤φr(t)，|x|≤r，a.e.t∈(0,1]。 定义算子L:domL⊂X→Y和算子N:X→Y分别如下： 其中， 引理7设(H1)成立，则L:domL⊂X→Y是一个零指标的Fredholm算子。 证明：显然KerL={u∈domL|u(t)=ctγ-n,∀t∈(0,1],c∈R}。 通过注1可以得到 (3) (4) 因此 综上所述，得到 定义线性算子P:X→X， 显然， X=KerL⊕KerP。 定义线性算子Q:Y→Y， 通过计算得到Q2y=Qy，即Q是一个幂等算子，是Y上的线性投影算子。显然，ImL=KerQ。 任取y∈Y，可写成y=(y-Qy)+Qy，其中(y-Qy)∈KerQ=ImL，Qy∈ImQ，因此Y=ImL+ImQ。取y∈ImL∩ImQ，由y∈ImQ得y=Qy；由y∈ImL=KerQ，得Qy=0，因此y=0，Y=ImL⊕ImQ。又dimKerL=1=codimImL，所以，L是一个零指标的Fredholm算子。 引理8定义线性算子Kp:ImL→domL∩KerP， 则Kp=(L|domL∩KerP)-1。 证明：取y∈ImL，可以得到Kpy∈domL∩KerP，且 另一方面，若u∈domL∩KerP，由引理4和引理5可得： 因此，Kp=(L|domL∩KerP)-1。 |f(t,u(t))|≤φr(t)，t∈(0,1]。 |tn-γKp(I-Q)Nu(t)|≤ 定理1假设(H1)和(H2)以及下面的3个条件成立： (H3)存在常数M>0，使得当u∈domL，∀t∈(0,1]，|u(t)|>M时，QNu≠0。 (H4)存在非负函数a(t)∈X,b(t)∈Y，使得 |f(t,x)|≤a(t)+b(t)|x|，t∈(0,1]，x∈R， (H5)存在常数B>0，如果|c|>B，那么cQNu(t)>0或cQNu(t)<0(其中u(t)=ctγ-n)中有一个不等式成立，边值问题(1)至少有一个解。 为证明该结论，首先证明如下3个引理。 引理10若条件(H3)和(H4)成立，则Ω1={u|u∈domLKerL,Lu=λNu,λ∈(0,1)}在X上是有界的。 证明：任取u∈Ω1，则Lu(t)=λNu(t)，因此 依据λNu∈ImL=KerQ，得QNu(t)=0。通过条件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。 将t=t0代入u(t)中，得 那么有 因此 整理得 故Ω1是有界的。 引理11若条件(H1)—(H3)成立，则Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}在X上是有界的。 证明：令u∈Ω2，则u(t)=ctγ-n，c∈R。因此，|tn-γu(t)|=|c|。又QNu=0，由条件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。将t=t0代入u(t)=ctγ-n中，可得|c|≤M，故Ω2是有界的。 引理12若条件(H1)—(H3)和(H5)成立，则集合 Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)θQNu=0,λ∈[0,1]} 在X中是有界的。其中J:KerL→ImQ，J(ctγ-n)=c，(c∈R，t∈(0,1])是线性同构映射， 证明：任取u∈Ω3，则u=ctγ-n，λJ(ctγ-n)+(1-λ)θQN(ctγ-n)=0。 如果λ=1，则c=0；如果λ=0，由条件(H5)，得到|c|≤B；如果λ∈(0,1)，假设|c|>B，由条件(H5)可得到λc2=-(1-λ)θcQNu(t)<0是矛盾的。因此Ω3有界。 下面证明定理1。 a)∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1)，Lu≠λNu； b)∀u∈KerL∩∂Ω，Nu∉ImL。 证明deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)≠0。 令H(u,λ)=λJu+θ(1-λ)QNu，由引理12可知，H(u,λ)≠0，u∈∂Ω∩KerL。 由度的同伦不变性可得： deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)=deg(θH(·,0),Ω∩KerL,0)= deg(θH(·,1),Ω∩KerL,0)= deg(θJ,Ω∩KerL,0)≠0。 由此应用引理1，可知微分方程边值问题(1)在X上至少有一个解。证毕。 考虑下述共振边值问题： (5) 并且 则条件(H4)成立。 令M=5，对任意的t∈(0,1]，如果u(t)>M，那么 因此 对任意的t∈(0,1]，如果u(t)< -M，那么 因此 故得到条件(H3)成立。 最后，令B=6，如果c>B，有 如果c< -B，有 所以条件(H5)成立。由定理1得到问题(5)至少有一个解。 本文运用Mawhin重合度理论，研究了共振情形下double-order Hilfer分数阶微分方程在积分边界条件下解的存在性，扩展了导数阶数的取值范围，丰富了分数阶微分方程可解性的理论，为微分方程在空气动力学、经济学、控制理论等领域的应用提供了理论参考。 本研究仅考虑了共振微分方程Lx=Nx边值问题中L是线性算子且Nx连续时的可解性，条件要求过高，未能体现出更一般化的结果。因此，在未来的研究中，将对含有p-Laplacian算子的非线性double-order Hilfer分数阶微分方程在一般化条件下解的存在性进行深入探讨，并对得到的结果进行验证。
2 主要结果
3 举 例
4 结 语
