归纳推理能力培养的路径研究——以“概率与统计”教学为例

李玉秋 胡 洁 周 欢

(长江大学，434023)

进入21世纪,在数据化的发展趋势下,对公民推理能力提出更高的要求.面对日趋复杂的生活实践,如何从经验出发,对未来进行决策成为关键问题．《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出包括逻辑推理在内的六大核心素养,其中逻辑推理素养不仅包括从一般到特殊的演绎推理,同样包括从特殊到一般的归纳、类比.PISA2021在“学科核心素养”导向下也提出数学推理为数学素养之一,指出数学推理应该是包括演绎和归纳两种推理形式,特别强调在变化和不确定的现实世界中,归纳推理与概率、统计知识相结合的重要性[1][2]．

就数学本身而言,虽然现代数学逐渐走向规范的、严谨的道路,但符号化、公理化知识都是学者历经无数次思维的碰撞和跳跃产生的.在这个过程中归纳推理能力发挥着作用,归纳推理得到结论是数学创新的根本[3]．从数学外部的角度出发,虽然数学学科中面临更多的是确定性的结论,但是现实世界中面临更多的是或然性的结论．数学学习不仅在解决数学内部的问题,更多是作用于现实情境的问题解决．在日常生产生活中,我们总是在积累经验,希望通过丰富的经验更好地去把握未来,在这个过程中正是归纳推理能力在发挥作用.虽然这种预测不一定完全正确,但生活本身就是或然的[4]．因此,培养学生的归纳推理能力具有重要价值,不仅是数学学科发展的需要,更是时代进步的要求．

一、归纳推理能力的概述

所谓归纳推理，是指从经验和概念出发,按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理,归纳推理仍然是一种有逻辑的推理[3][4]．归纳推理可分为基于一个类的归纳推理和基于两个类的归纳推理,以下分别称为归纳和类比．就其结论而言,又存在两种情况:一是结论的成立本身可能是必然的,二是结论的成立本身是或然的．

概率研究的对象是随机现象,是对不确定事件进行分析推理,进而预估未来发生的可能性大小,与传统数学中确定性结论的特点有所区别;而统计研究的对象是数据,通过对数据的运算,估计和预测发展趋势．所以,宏观层面理解“概率与统计”的知识,可以发现其结论的成立本身是或然的,对其推断结果判断标准只能是“好与坏”,并不能客观判断出正确与否,这种推理结果正是实际生活中很多情境下普遍需要的．正如德国逻辑学家卡尔纳普所说的,“归纳逻辑即归纳推理原则的理论也就是概率逻辑．” 而走进知识本身,每一个数学知识都是严谨的表达,每一个情境下推理出的结果都是基于题设的经验和严密的数学知识而推出的.仅从数学内部来看,对经过推理得出的知识都进行了严格的逻辑证明,对推理结果都建立了“好与坏”的评判标准,从这个角度分析归纳推理出的结论是必然的,是具有数学学科特点的,与宏观角度下的理解不同．

根据“概率与统计”知识的特点,理解归纳推理产生的两种结论,可以帮助学生全面理解归纳推理的内涵和思想，这正是“概率与统计”作为高中数学内容所无可替代的．同时,概率与统计往往相结合,不容分割,共同体现归纳推理的思想,原因就在于“概率”一词的由来是统计中“频率”一词,其合理性是基于最大可能性原理．因此,在新教材中,有专门一节的内容学习频率与概率,帮助学生建立概率与统计的关系,从整体上建立认知,发挥两者的学科价值和育人价值．

二、归纳推理能力的培养路径

归纳推理与“概率与统计”两者的契合,为从“概率与统计”主线探究归纳推理能力培养的路径提供可行性分析．另外,归纳推理逐渐被普遍接受,离不开“概率与统计”领域思想的不断建立和丰富,想要培养学生的归纳推理的能力,也要从“概率与统计”内容的学习出发．下面从“概率与统计”知识的横向架构和纵向生成两个途径进行探究．

1.横向架构

高中对于“概率与统计”知识的学习,相较于初中而言,内容上更加丰富,既有对所学知识的进一步理解,也有解决更为一般复杂情境问题的方法.在概念的表达上更加抽象严谨,处理的情境问题也更加切合实际．图1和2分别是新课标“概率与统计”主线下知识框架,通过知识架构图发现知识之间的关联,在实际教学中强化前后知识的逻辑关系．特别地,将“准备知识”中的计数原理纳入“统计”板块,而二项式定理的内容多采用演绎推理解决数学内部的问题,所以下文具体分析中不包含二项式定理的内容．

图1是对必修和选择性必修中“概率”内容的梳理.从“随机事件与概率”到“随机变量”的整个学习过程是一个逐渐递进的过程,环环相扣．特别是新教材中新增的“有限样本空间”的内容,可帮助学生从集合的角度刻画随机事件,进而认识事件之间的关系,从频率角度理解概率的含义,认识条件概率及其公式.最后,类比函数概念建立过程,引入随机变量等其它概念．在整个概率板块下,前后衔接是符合教学规律的,有助于引导学生逐步推理而成,体现知识不断丰富的过程．

图2是对必修和选择性必修中“统计”内容的梳理.纵向来看,从随机抽样方法的介绍到样本估计总体指标的选择,以及统计案例的探究设计,在整体上体现统计的全过程；从数据收集到数据的描述与刻画,最后利用提取的信息说明问题,学习内容形成一个闭环,体现统计中利用数据进行推理的全环节．横向来看,从单变量的估计到双变量相关关系的估计,研究思路上是一种类比推广,研究范围逐渐增大,适用于更多更为一般情境问题的解决,尤其是双变量回归分析中渗透信息技术的方法,为学生今后学习相关建模软件作铺垫．

2.纵向生成

除二项式定理的内容外,对“概率与统计”主线下的知识作统计,概念共有79个,其中通过归纳、类比得出的有40个,占比达50.6%;命题共有14个,通过归纳、类比得出的有3个,占比达21.4%;例题共有72个,其中用到归纳、类比解决的有56个,占比达77.8%．从上述数据可以看出,“概率与统计”中很多知识点都是通过归纳推理得出的,这与其它主线的知识有很大区别,原因在于该部分内容大多与实际情境联系紧密,所以教材设计会创设情境,通过归纳总结共性的方式推理得出数学结论.但是在命题学习中,依旧是以演绎推理为主,这与命题本身严密的逻辑性的特点相符合.

3.教学片段设计

以“有限样本空间与随机事件”的教学设计的片段为例,体现教学设计中归纳推理的渗透．

探究1有限样本空间

借助信息技术,模拟以下试验:“扭蛋机”中有10个质地大小完全相同、分别标号0,1，…9的球,充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码.

教师活动:演示动画,提问

问题1在“扭蛋机”试验中,共有多少个可能结果?如何表示这些结果?提示从集合的角度进行考虑.

学生活动:独立思考.(学生可以就具体实例给出回答)

教师活动:点评学生的回答,并根据回答,引导学生抽象归纳总结给出样本点、样本空间的概念.结合实例进行理解.

(1)随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.全体样本点的集合称为试验E的样本空间.

(2)一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.

(3)如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,ω3,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,ω3,…,ωn}为有限样本空间.

探究2随机事件

问题2在“扭蛋机”试验中,摇出“球的号码为3”、“球的号码为奇数”是否是随机事件?

问题3从集合的角度出发,类似样本空间表示方法,上述随机事件可以如何表示?随机事件和样本空间之间有什么关系呢?随机事件的概念又是什么呢?

教师活动提出问题2,给出提示,先借助初中对随机事件的认识给出判断.根据学生回答追问问题3.

学生活动学生针对问题3分小组进行讨论.(学生仿照样本空间的表示方法,可以用集合表示出随机事件,并尝试从集合关系出发,找到随机事件和样本空间的关系,归纳推理出随机事件概念)

教师活动对小组的分享进行点评,规范表述概念的内容.

(4)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C…表示.

在此基础上,继续考虑集合子集中特殊情况,引导学生认识必然事件、不可能事件.

在探究1中,以熟悉的生活情境“扭蛋机”展开探究,借助动画展示试验过程,吸引学生的兴趣,同时抛出合适的问题,引导学生去思考,从而归纳抽象出概念,有助于学生把握概念的实质.探究2是探究1的延续,通过探究1建立集合和样本空间的联系,根据学生对随机事件已有的认识出发,引导学生用集合表示随机事件,进而类比集合的关系,推理随机事件与样本空间的联系,抽象出随机事件的概念,最后类比集合中子集的学习,探究随机事件的极端情况.在整个教学预设中体现归纳推理,将抽象的概念借助实际情境和已有知识进行深刻理解．

综上可知，“概率与统计”中不确定性和随机性的思维特点,有助于全面理解归纳推理的本质．也正是这种思想契合点为归纳推理能力的培养提供可行路径:整体上建立知识框图,对于部分知识的生成要注重引导学生进行归纳推理．

在“概率与统计”教学中,充分发挥知识的特点,培养学生的归纳推理能力.第一,全面理解归纳推理的内涵和价值,在教学中把握“概率与统计”的思想本质和知识要点,引导学生感受结论或然性的归纳推理在日常生活中的重要价值,而对于结论本身可能是必然的归纳推理在数学内部是需要经历演绎证明的过程;第二,注重情境创设,选择学生所熟悉的、感兴趣的情境问题,在实际问题的解决中发展学生的归纳推理能力;第三,注重知识发生发展的过程,引导学生去探究知识的产生,采用单元教学的设计,建立知识之间的联系,体现知识间的逻辑性;第四,在例题、练习题等日常考查中,注重对学生推理能力的考查,在对问题的分析中发展学生的归纳推理能力．