巧用仿射坐标系求解面积问题*

祁 杰

(江苏省盐城中学,224000)

在学习解析几何时,常常会遇到有关面积的几何问题,大多是给出一个标准的几何图形,通过建立笛卡尔坐标系转化为常见的代数问题来解决.但是由于笛卡尔坐标系的特殊性,并非所有的题目都能简便地解决,而仿射坐标系的建系过程更方便学生理解和掌握,便于学生解决复杂图形的面积问题.

一、相关基础知识[1]

定义1笛卡尔坐标系在仿射对应(变换)下的像叫做仿射坐标系.(x′,y′)叫做点P′的仿射坐标,记为P′(x′,y′).

定理1在仿射坐标下,经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为

定义2图形经过任何仿射变换后都不变的量,称为图形的仿射不变量.

定理3两条平行线段之比是仿射不变量.

推论两个封闭图形面积之比是仿射不变量.

二、利用仿射坐标系求图形面积最值

①

评析正常先求出椭圆方程,设动点A(x0,y0),运用直线PA,PB的倾斜角互补求点A,B坐标,本题运算繁而难．运用仿射坐标系转换成为圆,既可降低难度,也便于面积表达,进一步求变换后的面积,从而给出原图形的面积.

评析用设点法求解椭圆问题运算量大而且难以解决问题,用椭圆的参数方程会涉及双变量,相对容易,但过程也不简单.用仿射坐标系将椭圆转换为圆,再运用圆的参数方程,可优化解题过程,进而解决问题.

三、利用仿射坐标系求相关图形面积

例3已知单位正三角形∆ABC,W为平面ABC上一点,若线段CA，CB上分别存在点P，Q,使得WP=2WQ,且W,P,Q三点共线,则称W为“好点”.若设AP=λ,AQ=μ(0<λ,μ<1),求所有“好点”构成的平面区域的面积.

故由推论可得变换前的面积

评析本题若通过直角坐标系求解,难于分析,比较棘手,运算量极大,同时由于高中数学方法局限性,无法大致描绘出其图象.而通过仿射系,将抽象的“好点”曲线转化为具体的圆的标准方程,进而求出“好点”构成区域的面积,求解轻松,利于呈现性质,方便后续的分析研究.

仿射坐标系建立了初等数学与高等数学之间的一种联系,若能熟练运用仿射变换,不但可据本探源,同时可深入研究数学对象之间的联系,进而从更高的角度把握和理解教材.