配方法在初中数学解题中的灵活运用

⦿江苏省泰兴市洋思中学 戴晓峰

1 引言

在初中数学中，配方法是一种能够灵活运用、十分重要且有效的解题思想和方法.它常见于各类数学问题的解答之中，现将其常见的解题思路与方法归类解析如下.

2 配方法在各类题型中的灵活运用

2.1 在代数式运算中的运用

例1已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，试求x，y，z的值.

解：把x=6-y代入z2=xy-9中，得

z2=(6-y)y-9=-(y-3)2,即

z2+(y-3)2=0 ①

因为y,z是实数，所以z2≥0，(y-3)2≥0.

欲使①式成立，则z=0，y=3，此时x=3.

故x=y=3，z=0.

思路与方法:本题的题设条件中等式只有2个，而未知元却有3个，要想求出这三个未知量，还应挖掘条件中等式隐含的某种特殊关系，这就需要运用配方法，例如通过把x=6-y代入z2=xy-9中，再化为z2+(y-3)2=0，这样就等于消去了一个未知元x，达到了化繁为简的目的.

故由x2+1 504xy+y2=(x+y)2+1 502xy=(4n+2)2+1 502=1 986，解得n=5.

思路与方法:通过观察发现，题设条件中，x与y互为倒数，容易求出x+y和xy的值；再将要求的等式左边利用配方法变化成含x+y和xy的形式，即可轻松求解.

2.2 在解方程中的运用

经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的解.

2.3 在函数中的运用

例5求函数y=x4+x2+1的最小值.

解：y=x4+x2+1=(x2)2+x2+1

即y=2x2+6x+4.

2.4 在平面几何中的运用

例7如图1，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B,其中最大边与最小边分别是方程3x(x-9)+32=0的两根，求△ABC的内切圆面积.

图1

解：因为∠A+∠C=2∠B,所以3∠B=180°，即∠B=60°.因为三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠B=60°，所以∠B必是最大边与最小边的夹角.

思路与方法:本题如果采用常规方法，通过求解方程的两根来计算内切圆的面积，运算会非常繁琐,所以另辟蹊径，巧用一元二次方程根与系数的关系及配方法[2]，则计算过程简捷多了.

例8已知，a，b，c，d皆为正数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd.

求证：以a，b，c，d为边的四边形为菱形.

证明：将条件式变形为a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0.

即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.

所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.

解得a=b=c=d.

所以，以a，b，c，d为边的四边形为菱形.

思路与方法：证明本题的主要技巧在于利用完全平方公式将条件式配方变形，只需要证明a=b=c=d即可.

2.5 在根式运算中的运用

思路与方法:本题利用配方法，将根式中的代数式配成完全平方式以便求其算术平分根，其中将x改写成x-1+1的形式是解题的关键.

3 结论

从上述典型例题思路与方法的解析中可以看出，灵活运用配方法解题,关键是要在储备大量基础知识、能娴熟运用相关公式、定理、性质的基础上，有目的地去“变形配方”，充分运用发散思维，多角度思考、多途径尝试、多联想、多分析、多训练,从中寻找、挖掘条件之间、条件与结论之间的联系.长此以往，坚持训练，一定能够提高综合解题能力.