追本溯源 深度思维——对一道中考模拟压轴题的思考

朱佳炜 (江苏省苏州大学实验学校 215131)

周正峰 (江苏省苏州相城区教育局教研室 215131)

压轴题因为文字量大，需要耐心阅读、认真审题，拨开出题者设置的思维迷雾，厘清本题涉及的数学知识点和基本模型.在教学过程中我们应引导学生层层递进，学会如何思考、解决问题，在此基础上进行拓展研究，让学生知道压轴题是什么，该怎么想，怎么做，还可以怎么样．

1 试题呈现

图1

(1)当t=1时，PQ=.

(2)连结AC，若点B′正好落在线段AC上，求t的值.

(3)点B′能否落在AD所在直线上，若能，求出AB′的长度；若不能，请说明理由．

2 题情分析

本题满分12分，区均分2.85分，得分率为23.75%，其中问题(1)满分2分，也就是说本题多数学生只能解答出问题(1)．出现这一情况的根本原因在于学生不会对“点P与Q分别沿着各自方向运动，沿PQ所在直线翻折，点B′正好落在线段AC上”所对应的状态进行准确作图，个别学生因在问题(2)中对“点Q沿B-A-D方向运动”进行了分类讨论，耗费大量时间，影响了问题(3)的作答，导致本题得分率偏低．

3 解法探究

3.1 求证相似，追问溯源

从关键条件出发，证得相似三角形，再根据相似性质列方程求解．

图2 图3

通过面积法或相似性质求得BH：

追问：当点Q在BA上运动时，B′可以落在AC上几次？

溯源：因为∠B′BC=∠BCA，所以∠B′BC是定角，而且边BC为定边，点B′将在以点B为端点的定射线上运动，该射线与AC只有一个交点，该交点即为B′，所以问题(2)中的t只有一解．

3.2 构建模型，灵活解答

抓住∠QB′P=90°，展开充分联想，构建基本模型“K”形图．

图4

追问：试探究AE与B′F、EB′与FC的数量关系.

3.3 建系化归,数形结合

建立直角坐标系，将几何问题转化为函数问题，将坐标代入函数解析式求值．

图5 图6

追问：点B′随着点P与点Q的运动而运动，该点的运动轨迹是什么？

3.4 基于经验,思维突破

在问题(2)顺利解答的基础上,我们进一步探究问题(3)．问题(3)中点B′落在AD所在直线上，所对应的点P、点Q所在位置需进行分类讨论．

当点Q在B-A运动时，通过作图发现点B′只能在矩形内部运动(图7)，所以当点B′落在AD所在直线上时，点Q在A-D运动(图8)．

图7 图8

那么，点Q在A-D运动时，如何求AB′的长度呢？

图9

追问：当点Q在A-D运动时(图10)，在翻折的过程中，点B′能否落在点Q左侧,即QA射线上？

图10 图11

溯源：因为vP

时，点Q将在水平方向上逐渐超过点P，沿着PQ翻折所得点B′将落在PQ的右下方(图11)，所以点B′不可能落在QA射线上．

4 类题再探

例1解决了让学生知道压轴题“是什么、该怎么想、怎么做”等问题.与“翻折”有关的压轴题还能以什么形式呈现？讲解完例1后，进行了以下拓展研究．

例2如图12，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连结AE，将点B沿AE折叠得点B′ ．当△CEB′ 为直角三角形时，求BE的长．

图12

本题的关键条件是“△CEB′为直角三角形”，而直角三角形的定义是一个内角为直角的三角形，本题必然要分三种情况进行讨论．

若∠CEB′=90°，那么四边形ABEB′中有三个角为直角:∠B,∠AB′E,∠BEB′，易证四边形ABEB′为正方形.若∠CB′E=90°，那么∠CB′E+∠AB′E=180°，则A,B′,C三点共线，运用勾股定理求解即可；若∠ECB′=90°，那么B′在CD边上，不合题意，舍去．

追问：为什么当∠ECB′=90°时，不合题意？若将“AB=3，BC=4”改为“AB=4，BC=3”呢(图13)？

图13 图14

溯源：翻折不改变AB长度，由“定点定长型隐形圆”可知，B′点在以A为圆心、AB长为半径的圆上运动，该圆与CD相离，所以B′不可能落到CD边上(图14)，∠ECB′=90°不合题意．将“AB=3，BC=4”改为“AB=4，BC=3”，则⊙A将与CD相交，所以第三种情况符合题意(图15)．

图15

为进一步激发学生思维，可以追问：若“E是BC边上一点”改为“E沿着射线BC运动”，是否还有其他情况符合题意？学生由圆与直线相交的定义可知⊙A与直线CD的交点有两个，所以存在第四种情况．

5 结语

中考考试前如何组织高效的数学复习？首先，数学题目千千万，不能依靠刷题提高数学解题能力，应基于学生的知识基础，在课前精选好题．什么是好题？好题的解题方法不唯一，题目虽新但似曾相识，它一定源于平时的学习，可将它与已有的解题经验建立联系，进行合情推理．其次，压轴题通常是综合性较强的题目，已知条件多，特别是部分关键条件隐含在题目中，在教学过程中应帮助学生分析题目已知，挖掘隐含条件，并由关键条件出发寻找解题策略．再次，要通过多角度研究，尝试多种数学方法，让学生感悟数学思想．数学思想是数学课堂的灵魂，若只讲解法不谈思想，那数学课堂必然是乏味的.数学题目的背后一定蕴藏着数学思想，如转化化归思想、分类讨论思想、建模思想等．最后，要适度追问，挖掘思维深度，追本溯源，拓展思维．除了要让学生知道中考压轴题“是什么、该怎么想、怎么做”以外，应引导学生思考这样的题目“还可以怎么样”，是否可以换一种形式呈现．也就是说，中考考前复习课不能满足于一题的解决，还应结合关键条件进行类题探究，以激发学生的创新意识．

总之，在压轴题的教学过程中，应基于学生的知识经验、解题经验，引导学生整合、化归，在联想中合情推理，在追问中实现溯源，在拓展中获得延伸，在感悟中走向深刻．让中考复习课成为有灵魂、有创新、有深度的课堂．