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一道新高考导数压轴题的分析与延伸

2022-11-24江苏省南京市第一中学210001

中学数学杂志 2022年10期
关键词:横坐标真题交点

雷 蕾 (江苏省南京市第一中学 210001)

2022年新高考I卷第22题是一道函数与导数综合的压轴题,考查了利用导数研究函数的极值与最值、零点等知识,体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想,对学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养要求较高.下面笔者从分析高考真题、推广一般结论、探究其他性质这三个方面展开,对这道压轴题进行深度解析,供大家参考.

1 分析高考真题,厘清解题思路

试题(2022年新高考I卷第22题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

思路 (1)分2步:①分别求出f(x)与g(x)的最小值(用a表示),由f(x)与g(x)的最小值相等建立关于a的方程;②利用导数求解关于a的方程.

(2)分3步:①证明f(x)与g(x)的图象只有一个交点(x0,y0);②证明直线y=y0与f(x),g(x)的图象各有另一个交点;③证明从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

图1

因为f(lnx0)=x0-lnx0=ex0-x0=f(x0),由f(x)的单调性可知,直线y=b与f(x)的图象交于两点(lnx0,b),(x0,b).因为g(ex0)=ex0-x0=x0-lnx0=g(x0),由g(x)的单调性可知,直线y=b与g(x)的图象交于两点(x0,b),(ex0,b),所以存在直线y=b与f(x),g(x)的图象有三个交点,其横坐标从左到右依次为lnx0,x0,ex0.由ex0-x0=x0-lnx0知,其横坐标成等差数列.

2 探究其他情况,得出一般结论

从上述分析可以发现,本题的第(2)题就是从直线y=b经过f(x)与g(x)图象的交点出发进行命制,考查了一种特殊情形.那么,对于一般情况,也就是直线y=b不经过f(x)与g(x)图象的交点时,是否有类似的结论?

变式1 已知直线y=b与f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的图象共有四个不同的交点.

(1)求实数b的取值范围;

(2)设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,求证:x1+x4=x2+x3.

(2)①由(1)知,当b∈(1,y0)时,直线y=b与f(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,直线y=b与g(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x3,x4,即f(x1)=f(x2)=g(x3)=g(x4)=b,其中lnx0

图2 图3

②由(1)知,当b∈(y0,+∞)时,直线y=b与f(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x1,x3,直线y=b与g(x)图象交点的横坐标从左到右依次为x2,x4,即f(x1)=g(x2)=f(x3)=g(x4)=b,其中x1

综上,x1+x4=x2+x3.

评注(1)对于变式1第(1)题中的交点个数问题,也可以用零点存在定理进行判断:

(2)若将试题与变式1中的函数一般化,即f(x)=ax-x,g(x)=x-logax,其中a>1,容易判断f(x)与g(x)都只有一个极小值点,且极小值相等.利用f(logax)=g(x)与g(ax)=f(x)可以证明:

①若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,则从左到右的三个交点的横坐标成等差数列;

②若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,则x1+x4=x2+x3.

3 总结命题规律,探究其他性质

通过对试题与变式1的分析,我们发现函数f(x)与g(x)之所以具有上述性质,关键是满足两点:①f(logax)=g(x),g(ax)=f(x);②f(x)与g(x)都只有一个极值点,且极值相等.

下面笔者适当改变f(x)与g(x)的解析式,使其满足上述两个关键点,探究其他函数的类似性质.

(1)若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,试探究:从左到右三个交点的横坐标之间的关系;

(2)若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,试探究:从左到右四个交点的横坐标之间的关系.

图4

图5

综上,若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,设从左到右四个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,则x1x4=x2x3.

②当x∈(e,+∞)时,lnx>1,因为f(x)在(1,+∞)上递减,易证x>lnx,所以f(x)

①若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,则从左到右三个交点的横坐标成等比数列;

②若直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,设这四个交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4,则x1x4=x2x3.

4 结语

总之,对于一道典型的高考真题,我们不能仅仅局限于解决这个问题,还应从多个角度对其进行剖析,充分挖掘其价值.通常可以思考如下问题:你能用多种方法求解这个问题吗?这个问题的命题意图是什么?改变条件或目标后这些方法还适用吗?这个问题能否推广到一般情形?等等.只有真正弄清这个问题的来龙去脉,把握其各种变化,我们在遇到新问题时才能做到灵活处理、巧妙应对.

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