将数学核心素养渗透于概念教学中

［摘  要］ 核心素养强调的不是知识与技能本身，而是获取知识与技能的能力. 培养数学核心素养最好的途径是将其渗透于学科教学中. 因此，研究者尝试将数学核心素养与数学概念教学相结合，从小处入手，试探究在“排列”的概念教学中渗透数学核心素养的教法.

［关键词］ 数学核心素养；概念教学；排列

排列，既是分步计数原理的应用，又是学习组合与组合数公式的基础，它的教学蕴含了对学生进行数学核心素养培养的丰富内容. 虽然许多教师对此课的教学进行了多方面的有益探索，但是将数学核心素养渗透其中的教学尝试尚嫌不足，可以借鉴的教学经验有限，且当前很多因素制约了数学核心素养在教学中的渗透. 为此，笔者结合自己的教学经验，针对“排列”这节概念课，就如何在数学概念教学中渗透数学核心素养做了一些探究.

课堂实录

1. 问题情境，引入新课

师：考察下面两个问题.

问题1：高二（5）班准备从甲乙丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？

问题2：从1，2，3这3个数中取出2个数组成两位数，这样的两位数共有多少个？

师：上面两个问题有什么共同特征？

设计意图：通过问题的提出，促使学生观察，归纳出两个问题的共同特征，有助于提升数学抽象核心素养.

师：我们先考察问题1中所有可能的选法，哪位同学愿意分享一下你的想法？

生1：共6种. 穷举法：先选班长后选副班长. 选法如下：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

师：正确，请呈现你的思维过程.

设计意图：穷举法是学生最容易想到的方法，但若问题加深难度，穷举法的效率则颇低.

生1补充：我们可以用树形图来解答. 共6种：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

师：好！利用树形图来解答，方法直观，可以保证所求个数不重不漏.

师：那么问题2呢？

生2：因为1，2，3这3个数任何一个都可能在十位，也都可能在个位，用树形图来表示，得到共有6种不同的选法：12，13，21，23，31，32.

师：很好！请大家繼续思考：问题1和问题2有什么共同点？

生3：从形式上来看，都是从3个……中选2个.（众生笑）

师：没错，生3观察得很仔细. 对于“……”部分，我们通常把问题中被取的对象叫做“元素”. 很明显上面两个问题中的3个元素是不同的.

师追问：如果将问题1中的班长、副班长视为第1位、第2位；同理，将问题2中的十位、个位也视为第1位、第2位（师板书）. 那么，这两个问题还有什么共同点吗？

设计意图：此处师板书旨在培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养，期待学生可以通过直观感知，推理得出两个问题中存在的共同特征.

此时生3面露难色，没有回答.

生4（踊跃）：老师，这两个问题都是将取出来的2个元素按顺序排成一列.

师生概况出共同点：①从3个不同的元素里取出2个；②按照一定的顺序排成一列. （师板书）

师：能否再举几个例子？

生5（男生）：从3朵玫瑰花中选2朵分别送给2个女生.（众生大笑）

师：（笑过之后）我们考虑一下这个例子是否符合上述特征？

全体学生：符合.

师：对. 这个例子比较贴近生活，还有么？

生6（女生）：从a，b，c这3个字母中取出2个.

师：很好，两位同学举出的例子都很精彩，我们还可以尝试通过改变数字来得到其他例子.

2. 数学建模，深化概念

问题3：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，能得到多少个不同的三位数？

师：将问题1、问题2放在一起，去伪存真，可以抽象成：从3个不同的元素中取出2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法？那么，问题3可以抽象成什么？

生7：从4个不同的元素中取出3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法？

师：正确. 下面请同学们将它们推广到更一般的情形.

生8：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法？

师：推广得很好！尤其引入了变量m，n，并给出了“m≤n”，考虑到了变量的实际大小！另外，通过由特殊到一般，把具体问题抽象为数学问题，自己建立了本节课的数学模型——“排列”，非常厉害！

设计意图：学生通过问题探究，自行建模，活跃了课堂气氛，培养了学生数学抽象、数学建模等能力.

3. 例题讲解，难点突破

概念辨析：判断下列哪些命题是排列.

①从10名学生中抽取2名作为正、副组长；

②从10名学生中选取2名去开会；

③从2，3，5，7，11中任取2个数相乘；

④从2，3，5，7，11中任取2个数相除；？摇

⑤有3本不同的书，从中选取2本送给2名同学，每人各1本；

⑥有3种不同的书（每种不少于2本），从中选2本送给2名同学，每人各1本.

生9：①是，它相当于从10个不同元素中取出2个，然后按照一定的顺序排成一列，符合“排列”的定义.

师：说得好，判断命题是否是“排列”的依据便是“排列”的定义.

生10：②不是，它相当于从10个不同元素中取出2个，然后不需要考虑顺序排成一列，不符合“排列”的定义.

师：正确！再次强调“排列”定义中的两个关键点：①元素不能重复；②按一定的顺序排成一列. 缺一不可！

例1 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列.

生板演.

设计意图：考查学生的应用能力，渗透数学素养.

生11：板演树形图（略），有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

思考1：ab与ac是相同的排列吗？ab与ba呢？

生12：都不是. 前者元素不同，后者顺序不同.

师：正确，抓住了“排列”定义的本质. 两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同.

思考2：a不排在首位的排列有哪些？

生13：在原问题结果的基础上，去掉a排在首位的排列，共有9个：ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

师：正确，在前人工作的基础上，我们可以利用“排除法”很快得到答案. 还有别的想法么？

设计意图：此种解法是学生容易想到的，穷举后利用“排除法”能很快找到符合条件的结果. 可以培养学生举一反三的创新意识.

生14：树形图中第一行只列b，c，d，不列a.

师小结：直接运用树形图，活学活用，值得学习！这个问题是“有限制条件的排列”，大家可以采用“直接法”或“排除法”兩种方法来处理.

例2 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列.？摇

生15：从4个字母中取出2个字母的排列有12个，在这样的每一种排列后面排上其余2个字母中的任何一个，就可以得到结果（作树形图）.

思考：你能写出这4个字母都取出的所有排列吗？

设计意图：通过学生的分析思考，进一步加深学生对树形图的认识.

4. 课堂小结，布置作业

略.

教学反思

教学反思是教师以个人教学为思考对象，对自身教学理念、实践及因此而产生的结果进行深入的分析，达到既提高教学质量又提升教学水平的过程［1］.

（1）反思教学设计.本节课正是通过几个排列问题，让学生自己探索发现、归纳小结，迫使他们找出这些排列问题中的共同特征，再由特殊到一般、由具体到抽象，得到排列模型.从而引发学生强烈的学习兴趣，培养学生的创新意识和应用意识，将数学素养渗透到数学概念教学中.

（2）反思问题情境的创设. 笔者有如下体会：①问题情境应当在学生知识的最近发展区进行设计，循序渐进，由浅入深，激发学生对新知识的渴望；②抓住概念的本质特征，设计一些练习题，可以调动学生的积极性，巩固已学知识；③利用例题与思考题相结合进行分层教学，使学生既能熟悉掌握基本方法，又能加深学习. 这样，不仅使这节概念课教学的内容进一步得到了升华，又为下一阶段推导排列组合公式做了铺垫.

值得注意的是，将数学素养渗透到数学概念教学中的手段不是孤立的，也不是矛盾的，可以将排列组合综合应用. 总之，教起来“枯燥乏味”的内容其实用对了方法也能教出希望，开出理想之花. 笔者希望借此论文，引起更多的专家学者关注如何在数学教学中渗透数学核心素养，使新课程理念下的数学教学可以向蓬勃的方向发展.

参考文献：

［1］  蔡勇全. 也谈数学教学反思［J］. 数学通讯，2016（05）：1-3.

作者简介：李永永（1986—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.