核心素养视域下高中数学统计单元的教与学

林晴岚 郑达艺 陈柳娟

（福建教育学院数学教育研究所，福建 福州 350025）

数据分析是大数据时代的特色，其核心是通过对数据的分析探索事物发展，深入了解事物的发展特性和规律，促进人们提升科学合理处理问题和解决问题能力.《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》课程内容与时俱进，将传统数学基础知识和时代特色的数学应用相结合，优化了原有高中数学课程内容，结合时代发展新趋势提出了把“数据分析”作为高中数学核心素养.同时，科学设置课程相关内容，把培养学生数据分析素养的目标要求融入课程目标要求中，以“主线—主题—单元—核心内容”四层次设置课程内容的相关系列，并根据学生选择高中毕业和参加高考两种不同目标设置培养要求，分别设计课程内容.

一、对统计单元的学习内容的认识

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中概率与统计主线的课程优化后重组统计单元核心内容有：基本概念（总体、样本）；“数据分析”全过程（即学习收集数据、能描述与刻画数据、会科学地提取信息、利用信息说明问题，领会统计思想与方法）；掌握成对数据相关性、回归分析、独立性检测这几个解决统计基本问题的手段.［1］课程内容以主线—主题—单元—核心内容设置为必修学习内容和选择性必修学习内容，分别对应学生高中毕业和参加数学高考两种不同学业质量水平培养要求.

（一）统计单元的必修课程学习内容认识

必修课程学习要求是应达到高中数学学业质量水平一的标准，学习内容是：在具体的实例中，了解事件的总体、样本、样本量的概念，知道获得数据的基本途径有哪些，认识收集数据所具有的随机性，领会抽样的样本必须要与总体同性质分布，知道根据实际问题特点合理选择抽样方法如简单随机抽样、分层随机抽样等，明确抽样的意义在于用样本的平均数、中位数、众数来估计总体的集中趋势，以及用样本的标准差、方差、极差估计总体的离散程度、取值规律，体会统计思维与数学确定性思维的差异；［2］了解百分位数的统计含义，学习用统计图表对收集的数据进行可视化描述，感受统计图表的合理使用的重要意义.这部分内容是数学学业水平合格性考试命题的重要依据.

（二）统计单元的选择性必修课程学习内容认识

选择性必修学习要求是要达到数学学业质量水平二的标准，学习内容是：相关的统计软件；以具体实例借助有效样本分析，了解样本相关系数的统计含义，领悟样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，学会利用成对数据统计相关性解决简单实际问题；在了解一元线性回归模型的含义和最小二乘法原理的基础上，领会模型参数的统计意义，学习用一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法研究变量之间的随机关系，能结合实际问题对总体进行预测；在理解2×2 列联表的统计意义与其独立性检验特征的基础上，学习应用2×2 列联表来解决独立性检验的简单实际问题的方法，体会归纳推理与演绎推理的差异.这部分内容是数学高考命题的重要依据.

（三）概率与统计课程主线统计单元内容新变化

一是增加了百分位数，百分位数作为数据分析中的常见量，在对数据采集、整理、统计、分析等过程中百分位数应用突显现出它的重要性.大数据时代发展的需要学生掌握并能正确用好这一个常见量.二是减少了原有课程内容的系统抽样、统计案例.意在明确“数据分析”主要是借助计算机与数据这两个重要技术和资源载体对随机数据进行分析处理，提高学生对技术和资源的掌握与使用要求.

基础教育数学课程中概率与统计主线学习内容整体设置是以提升学生的分辨能力为主要目的.正确认识统计问题是可采用不同的方法收集数据，不同的数据蕴含的信息是有所区别的，理解根据现实问题用数学模型对不同方法收集的数据进行分析，会得到不同的推断结果，推断结果的准则是“好与坏”.领悟统计思维既有严谨性和准确性，又有数学特有的艺术特色.

二、对统计单元教学的思考

首先，明确统计的研究对象是数据，数据作为信息的载体，数据包含数字型数据和非数字型数据，统计的研究核心是数据分析，数据的有效、科学和较为精确的获取是数据分析的前提，统计最基本的思想是用样本推断总体.为此，要掌握数据收集的科学方式和技术手段，以确保数据的精确和可信，学习统计估计的推断方法，培养学生会用统计的眼光观察世界.其次，明确统计单元教学的重点是围绕三个基本问题开展：第一是认识研究对象的总体与样本，明确总体就是统计要研究的对象，了解总体的分布状况，以及样本与总体的关系，会用简单随机抽样、分层随机抽样等方式抽取样本，正确认识样本的随机性特性，明确样本作为揭示总体规律的手段，把握样本抽取的原则是样本分布必须符合总体的分布规律；第二是以具体实例开展数据分析全过程活动，即通过收集有效数据→对数据描述、刻画→提取信息→利用信息分析→解决实际问题→归纳总结统计思想和方法，从活动过程中感受“数据”是数据分析的基础，而整理收集的数据是有效进行数据分析的基础，基于现实生活的情景出发，利用统计知识和方法，构建统计模型，获得结论形成知识，达到解决问题的目的，体会数据分析就是一个透过数据探索客观事物本质和规律的过程；第三是掌握用成对数据相关性、回归分析、独立性检测这些统计的基本方法，精确研究的随机现象的特性和内在规律，从中获得更精准地服务于科学发现、技术创新和管理决策.

（一）统计单元必修部分内容教学思考

必修部分内容教学是围绕着总体与样本核心概念展开的，总体是统计研究的对象，样本是贯揭示总体规律的手段.这部分教学要帮助学生达到数学学业质量水平一的要求，教学思路：一是引导学生学会对生活中的具体问题开展研究.知道获取有效数据的基本途径，掌握有效收集数据的方法，会合理使用样本数据蕴含的信息，了解数据的随机性.二是掌握绘制统计图表的方法，能结合获取的数据和实际情况合理使用统计图表，体会用图表可视化表达数据具有的独特性.三是掌握用样本数据提取需要的数字特征方法，理解用样本估计总体的统计规律.整体思路是通过对真实问题的研究，让学生经历数据处理全过程，学会有效进行数据收集和整理，掌握用刻画数据统计特征的方法，体会“数据”既有随机的一面，又有对决策性确定的一面，更好地认识数据影响人们在实际生活中对事物进行科学决策的必要性和可能性.

教学案例：某市政府为了实现绿色发展，提出对居民用电采用阶梯电价收费的建议，应该如何合理确定阶梯电价中的电量临界值？

提出问题1：如何科学掌握该市全部居民住户全年每月用电总体情况？

建议：可以选择全市所有住户全年每月的每户用电量进行研究，也可以通过选取该市有代表性区域住户全年每月用电量进行研究.明确统计的总体是要研究全市所有住户全年每月的每户用电量，抽取样本应具有与总体相同规律，利用从样本获得的规律来估计总体的规律，达到解决相应的实际问题目的.

提出问题2：如何获取有效居民住户用电量的样本数据？该样本数据应具有怎样的特点？

建议：可以选择该市一个有代表性的居民生活区为样本，以该小区居民住户某月用电量为样本.还可以借助技术软件，科学有效收集该市有代表性小区的居民住户某月用电量数据，如以6 月用电中高峰期的每户居民用电量数据为样本.通过对收集样本数据分析，寻找样本数据中蕴含的信息.需要注意的是，由于样本存在的随机性，这样的估计可能会存在一定的误差，但这样的误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解.

提出问题3：如何合理确定阶梯电价中的电量临界值？

建议：科学合理的取样设计才能使样本数据达到相对精确度和可信度.可以选择电价第一阶梯电价的受众面占75%，第二阶梯电价的受众面占20%，第三阶梯电价的受众面占5%.以此，估计该市全部居民住户全年每月用电量总体分布情况，为政府确定合理阶梯电价决策选择提供有力支持.

该例借助生活中的具体问题研究，让学生学会面对的统计问题，可以通过主动收集与被动收集等不同方式获得数据，能针对不同的问题特征有效的抽样方法获取所需样本数据，会在随机抽样获得观测数据的基础上，选择或者创建更合理的方法对数据进行整理，能充分利用有效的数据信息通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，选择适当的表达描述数据方式，并用这些数据分析结果进行解决实际问题.学生通过此问题研究，经历较为系统的“数据分析”全过程，掌握数据分析的基本操作要领，体会统计思维与确定性的数学思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异，［1］提升科学有效运用所学知识、方法解决实际问题的能力.

（二）统计单元选择性必修部分内容教学思考

选择性必修部分教学是在学生学习了统计必修课程内容后，在达到数学学业质量水平一标准要求的基础上，进一步提高解决统计相关问题的深度、广度、精确度和可信度，从而达到数学学业质量水平二的检测标准要求.课程内容整体设置成围绕统计的几个基本问题（成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、独立性检验）自然地将有效收集数据、利用数据提取信息、构建数学模型，进行数据分析整体过程有机融合展开研究.教学思路：一是通过对子女的身高与父亲身高之间的关系、粮食亩产量与施肥量之间的关系等一系列具体案例，让学生感受到在现实中大量存在相关关系和研究变量之间相关关系的必要性，把握用成对样本数据呈现的统计相关性研究两个数值变量的相关性的原则，深化学生对变量之间相关关系概念的理解，体会现实世界里这些不确定性关系也是常见的一种关系，理解样本相关系数的统计含义，掌握用条形图、直方图、散点图对数据统计描述和刻画的常规手段；［3］二是基于在观察子女的身高与父亲身高得到的成对样本数据刻画的散点图基础上，理解一元线性回归模型的变量关系特征，掌握利用一元线性回归模型与最小二乘法的原理相结合解释和对事物的发展变化进行有效预测的方法，体会统计模型关注的是统计规律，正确理解随机误差，以及统计模型与函数模型差异，［3］能使用统计软件实现回归分析；三是通过问题，如新药对治疗某疾病是否明显有效、不同学校某学科教学质量是否有明显差别等具体问题，引导学生利用2×2 列联表和应用独立性检验解决现实具体问题，体会统计思想，掌握检验两个随机变量的独立性的方法，理解统计思维与确定性思维之间的差异，培养学生联系实际的意识和数据处理能力，提高学生综合手段解决实际问题的能力.

以概率与统计主线的视角，把握好统计单元的教学，从更高的观点理解统计单元所包含的知识、概念本质，通过实际案例教学研究分析活动，不断积累实践经验，把握数学知识技能与数学核心素养之间的关联，养成在课堂教学过程中把知识技能的评价与核心素养达成状况的评价有机融合自觉行动，增强信息技术与数学课程深度融合自觉行动，提升数学教育研究能力.

三、对统计单元的育人价值理解

概率与统计主线是培育学生基于数据的统计眼光、分析意识、洞察能力、活动经验、交流能力、思维品质，综合体现了数学核心素养之一“数据分析”的育人价值.学生通过统计主题课程内容的学习和参与数据分析的实践活动，一是对“数据”产生了兴趣.有了主动获取数据的意识，会用有效的、科学的和较为精确的技术手段采集数据、整理数据，正确认识到数据分析的基础是“数据”，且“数据”作为信息的载体有着丰富的呈现形式.二是有能力让数据说话.认识到正确的“分析”是基于有效收集数据、整理数据，会用统计模型对数据进行有效推断，能通过数据思维去洞察事物的本质，寻求问题的解决的途径，会用统计的思维去分析客观世界的变化和发展，形成通过数据探索客观事物本质和认识事物内在规律性的思维品质.三是积累基于数据分析的全过程活动经验.从活动中领悟到“数据分析”作为刻画随机现象统计规律性的语言，为许多学科探索其变化和发展的规律性提供了观念、方法和工具，认识数据分析是认知客观世界的基本思想和数学方法，以及随着科学技术的不断发展创新出了新的数据分析技术，领会了用数据分析的思想和方法建立发现事物特征和规律的归纳思维策略，提升适应时代社会发展所必备的可持续发展的学习、观察、思考、研究能力和眼光.