Medium 诣零*-clean 环

张习习，吴 俊

(安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241003)

除非特别说明，文中的环均指含单位元的结合环。Id(R)表示幂等元的集合，U(R)表示可逆元的集合，P(R)表示投射元的集合，N(R)表示幂零元素的集合，Z(R)表示环R 的中心，J(R)是环R 的Jacobson 根。记Mn(R)是环R 上的n 阶矩阵环，Tn(R)是环R 上的n 阶上三角矩阵环，Zn是整数环Z 模n的剩余类环。

clean 环[1]的概念首次由Nicholson 提出：对于元素a∈R，若有a=e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)，则称环a 是clean 的。若环R 中每一个元素都是clean 的，则称R 是clean 环。2013 年，Diesl 用幂零元取代可逆元，引入了诣零-clean 环[2]的概念。关于诣零-clean 环及其他环类的研究吸引了众多代数学者的关注[2-15]，近期众多学者在环中引入*-运算[9]，得到*-环的概念并研究*-环的性质，具体可参见文献[10-13]。2010 年，将强clean 环的概念引入到*-环中，提出了强*-clean 环[10]的概念。由于投射元一定是幂等元，因此*-clean 环是clean 的，但反之不一定成立。文献[4]引入并研究了强弱诣零-clean环，文献[13]是将文献[4]中的环引入到*-环中的一些研究。

受上述研究启发，本文继续研究文献[13]中medium 诣零*-clean 环的基本性质，得到了一些等价刻画。此外，还研究了medium 诣零*-clean 同态像的基本性质并得到一些等价刻画。

1 预备知识

定义1[9]若存在映射* :R →R，使得对任意的x，y∈R 均有(x+y)*=x*+y*，(xy)*=y*x*且(x*)*=x，则称环R 是*-环。在以下定义2～4 中，都假设R 是一个*-环。

定义2[12]若对任意a∈R，均有a=p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，则称环R 是诣零*-clean的。

定义3[13]若对任意a∈R，均有a=e+w 或者a=-e+w，其中e∈P(R)，w∈J(R)且ew=we，则称R 是medium *-clean 的。

定义4[13]若对任意a∈R，a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp，则称R是medium 诣零*-clean 环。

注1显然，medium 诣零*-clean 环是强弱诣零-clean 环，但反之未必成立[13]。根据定义，显然{强诣零*-clean 环}⊂{medium 诣零*-clean 环}⊂{弱诣零*-clean 环}⊂{弱诣零*-clean 环}。

定义5[10]若R 中每个幂等元都是中心的，则称环R 是阿贝尔的。若环R 中每个投射元都是中心的，则称环R 是*-阿贝尔的。

定义6[15]若对任意的a∈R，均有a=e1+e2+n，其中e1，e2∈Id(R)，n∈N(R)且e1，e2，n 两两可交换，则称环R 是强2-诣零-clean。

定义7[2]若对于任意a∈R，均存在正整数n，使得an∈Ran+1∩an+1R，则称环R 是强π-正则的。

定义8[16]若对任意a∈R，都存在不同的m，n∈N 使得am=an，则称环R 是周期的。若R 是周期的且环R 中的每个幂等元都是投射元，则称环R 是*-周期的。

强π-*-正则环[17]有如下的等价定义：对于任意的a∈R，存在p∈P(R)和u∈U(R)使得a=p+u，pu=up，ap∈N(R)。

引理1[18]设R 是*-环。若环R 中的每个幂等元是投射元，则R 是阿贝尔的。

引理2[19]设R 是*-环，I⊆J(R)，e∈R 是幂等元。如果e -e*∈I，则存在一个投射元f∈R，使得eR=fR，e -f∈I。

2 主要结果

命题1设R 是*-环。u∈U(R)且元素a∈R是medium 诣零*-clean。若u*=u-1，则u-1au 是medium 诣零*-clean 元素。

证明：因为a∈R 是medium 诣零*-clean 的，则a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。设存在正整数m∈Z，使得bm=0，则(u-1pu)2=u-1pu 且(u-1bu)m=u-1bmu=0，从而u-1au=u-1pu+u-1bu 或者u-1au=-u-1pu+u-1bu。又因为u*=u-1，则(u-1pu)*=u*p*(u-1)*=u-1pu，即u-1pu 是投射元且u-1pu·u-1bu=u-1bu·u-1pu，因此，元素u-1au 是medium 诣零*-clean 的。

命题2设R 是*-环。对于γ∈J(R)，若γ=p+b 或者γ=-p+b 是medium 诣零*-clean 分解，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp，则p=0。

证明：由于b∈N(R)，设存在正整数m，使得bm=0，则p=pm=(γ -b)m∈J(R)或者p=pm=(b -γ)m∈J(R)，因此p=0。

定理1设环R 是*-环，则下述条件等价：

1)R 是medium 诣零*-clean 环；

2)R 是强*-clean 的且是弱诣零clean 的；

3)R 是阿贝尔弱诣零*-clean 的；

4)R 中每个幂等元都是投射元且对任意a∈R，有a ± a2∈N(R)；

5)R 是medium *-clean 环且是诣零的。

证明：1)⇒2)显然，环R 是强弱诣零-clean 的，由1)知，对任意a∈R，有a=p+b 或者a=-p +b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。如果a=p +b，则a=(1 -p)+[1+(2p -1)b]，其中1+(2p -1)b∈U(R)，(2p -1)2=1，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*。如果a=-p+b，则a=1 -p+(b -1)，其中b -1∈U(R)。因此，R 是强*-clean 环。

2)⇒3)由文献[18]中的定理2.1 知，R 是阿贝尔的且R 中的每个幂等元都是投射元，得证。

3)⇒4)显然，环R 中每个幂等元都是投射元且R 是阿贝尔弱诣零-clean，由文献[4]中的定理2.1 可知，对任意a∈R，有a ± a2∈N(R)。

4)⇒1)由文献[4]中的定理2.1 可证。

1)⇔5)由文献[13]中的定理5.1 可证。

例1令R=Z2× Z2，定义σ：R →R 为σ(x，y)=(y，x)。记定义：则T2(R，σ)是环。定义映射*：T2(R，σ) →T2(R，σ)，其中经检验得，*是T2(R，σ)的对合运算，对任意a，b∈R，N(T2(R，σ))，从而T2(R，σ)是弱诣零*-clean 环。注意到=A2∈T2(R，σ)是幂等元但非中心元，则环R 不是阿贝尔，由定理1知T2(R，σ)不是medium 诣零*-clean 的。

若环R 中元素a，有a -1∈N(R)，则称a 是unipotent。

命题3每个medium 诣零*-clean 是强*-clean的；此外，若环中每个可逆元都是unipotent，则其逆命题也成立。

证明：由定理1 知，显然。反之，假设环R 是强*-clean，且R 中每个可逆元都是unipotent 的，取a∈R，则存在投射元q∈R 和可逆元u∈R，使得a+1=q+u，且qu=uq。因为u 是unipotent 的，所以存在n∈N(R)使得u=1+n，因此a=q+n，且qn=q(n -1)=(n -1)q=nq；类似可证a=-q+n，且qn=q(n -1)=(n -1)q=nq。故R 是medium诣零*-clean 的。

注2一般情况下，命题3 的逆命题不成立。例如：取素数p≥3 及正整数n≥1，则环R=Zpn满足*=1R时是强*-clean 的。但由于2∈U(R)，即2∉N(R)，根据文献[2]中的命题3.14，R 不是强弱诣零clean 环，从而不是medium 诣零*-clean 的。实际上，2-1 不是幂零元，即2 不是unipotent。

设I 是*-环R 的理想。若I*⊆I，则称I 是*-不变的，在这种情况下，环R 中的对合运算* 可以延拓到商环R/I 上，仍记为*。

推论1设R 是medium 诣零*-clean 环。若I是R 的*-不变理想，则R/I medium 是诣零*-clean 环。

证明：因为投射元的同态像(或者幂等元)是投射元(或者幂等元)，命题得证。

命题4设环R 是medium 诣零*-clean 环，则有：

1)R/J(R)是诣零*-clean 环；

2)若N(R)是理想，则R/N(R)是medium 诣零*-clean 环。

证明：1)由推论1，只需证明J(R)是*-不变的。取x*∈J(R)*，其中x∈J(R)。对任意的y∈R，由1 -xy*∈U(R)，则1 -yx*=(1 -yx*)*∈U(R)，即证。

2)由于N(R)是理想，则只需证明N(R)是*-不变的。给定任意的a*∈N(R)*，下证a*∈N(R)。因为a∈N(R)，于是存在正整数m，使得am=0，则(a*)m=(am)*=0，故a*∈N(R)。再根据推论1，即证。

定理2设I 是*-环R 的任意诣零*-不变理想且R/I 中的投射元可提升到环R 中，则R 是medium 诣零*-clean 环当且仅当

1)R 是阿贝尔的；

2)R/I 是medium 诣零*-clean 的。

证明：(⇒)由定理1 和推论1 得证。

设R 是*-环，令I 是R 的*-不变理想。若I 中每个元素都能表示成投射元与幂零元的和或者差且两者可交换，则称I 是medium 诣零*-clean 的。

推论2设I 是*-环R 的*-不变理想，则a 是I 中的medium 诣零*-clean 元当且仅当a 是R 中的medium 诣零*-clean 元。

证明：(⇒)显然的。

(⇐)令a 是R 中的medium 诣零*-clean 元，则a=p+b 或a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)，pb=bp。若a=p+b，则a=(1 -p)+(2p -1 +b)=(1 -p)+(2p -1)[1+(2p -1)b]，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，2p -1+b∈U(R)，ap=(2p -1 +b)p。由于I 是R 的理想，则p=(2p -1+b)-1ap∈I，从而b=a -p∈I。若a=-p+b，则a=(1 -p) +(b -1)，pb=bp，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，b -1∈U(R)，ap=(b-1)p，则p=(b-1)-1ap∈I，则b=a+p∈I，因此a 是I 中的medium 诣零*-clean 元。

推论3设I 是*-环R*-不变理想，且R 是medium 诣零*-clean 环，则I 必然是medium 诣零*-clean 的(I未必有单位元)，特别地，J(R)是medium 诣零*-clean 的。

设R 是*-环且Z(R)是R 的中心，易证Z(R)也是*-环。

定理3设R 是弱诣零*-clean 环，则Z(R)是medium 诣零*-clean 的。

证明：由条件知，对任意的a∈Z(R)，a=p+b或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)。Ⅰ)若a=p+b，则a(1 -p)=b(1 -p)且ap=pa，故存在正整数l≥1 使得al(1 -p)=bl(1 -p)=0，又因为pa=p(p+b)=p+pb=p(1+b)，所以p=pa(1 +b)-1=p(1+b)-1a∈Ra。因为p=p2，则p∈Rak，对任意的k≥1，记p=tal=alt。下证p∈Z(R)，取任意的y∈R，有py(1 -p)=taly(1 -p)=tyal(1 -p)=0，且(1 -p)yp=(1 -p)yalt=al(1 -p)yt=0。因此有py=pyp=yp，从而p∈Z(R)且b=a -p∈Z(R)。Ⅱ)若a=-p+b，类似Ⅰ)可证，因此Z(R)是medium 诣零*-clean 的。

定理4设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 的当且仅当

1)R 是阿贝尔的；

2)a -a*∈N(R)对所有的a∈R 恒成立；

3)R 是强弱诣零*-clean。

证明：(⇒)1)、3)由定理1 得证，只需证明2)。由条件可知，对任意的a∈R，有a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp。显然，R是强2-诣零-clean 的。由文献[15]中的定理3.3 和定理3.6 得，N(R)形成R 的理想。Ⅰ)若a=p+b，则a*=p*+b*=p+b*，因为N(R)*⊆N(R)，则a-a*=b-b*∈N(R)。Ⅱ)若a=-p+b，则a*=-p*+b*=-p+b*，类似可得a -a*∈N(R)。

(⇐)由文献[4]中的定理3.1 知，N(R)是R 的理想，因此N(R)⊆J(R)，由3)知，对任意的a∈R，有a=e+b 或者a=-e+b，其中e∈Id(R)，b∈N(R)且eb=be。若a -e=b，由2)可得e -e*∈N(R)。根据引理2 知，存在f∈P(R)使得e -f∈N(R)，则a -f∈N(R)。若a+e=b，类似可证，故R 是medium 诣零*-clean 的。

注3定理4 中的3 个条件是必要的，缺一不可。例如：令R=Z2⊕Z2，定义*：R →R，(a，b)*=(b，a)，那么环R 是阿贝尔且是强弱诣零-clean 的，但(1，0) -(1，0)*∉N(R)。因此，环R 不是medium诣零*-clean 的。

文献[4]的定理3.1 中证明了环R 是强弱诣零-clean 的当且仅当N(R)是理想且R/N(R)是弱布尔环。对于medium 诣零*-clean 环，也有类似的结论。

命题5设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 环当且仅当

1)环R 中的每个幂等元都是投射元；

2)N(R)形成R 的理想且R/N(R)是弱布尔环。

证明：(⇒)由定理1 得证。

(⇐)由文献[4]中的定理3.1 知，R 是强弱诣零-clean 环，又由于1)，则R 是medium 诣零*-clean环。

推论4设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 的当且仅当

1)R 中的每个幂等元都是投射元；

2)J(R)是诣零的；

3)R/J(R)是弱布尔环。

证明：(⇒)由文献[13]中的定理5.4 得证。

(⇐)由文献[4]中的推论3.2 知，R 是强弱诣零-clean 环，又由于1)，则R 是medium 诣零*-clean环。

命题6设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 的当且仅当

1)R 是*-周期环；

2)R/J(R)是弱布尔环。

证明：(⇒)由定理1 知，环R 中每个幂等元都是投射元，且N(R)⊆J(R)，所以R/J(R)是弱布尔环，环R 是强弱诣零-clean 环，由文献[4]中的定理2.1 知，对任意a∈R，有a ± a2∈N(R)。若a+a2∈N(R)，则存在m∈Z，使得(a+a2)m=0。于是存在f(t)∈Z(t)，使得am=am+1f(a)，由文献[20]知，环R是*-周期的。若a -a2∈N(R)，类似上述证明，可得R 是*-周期的。

(⇐)由于R 是*-周期的，则J(R)是诣零的，由推论4 得证。

命题7medium 诣零*-clean 环是强π-*-正则。

证明：设R 是*-环且a∈R 是medium 诣零*-clean 的，则a=p+b 或者a=-p+b，其中p∈P(R)，b∈N(R)且pb=bp。若a=p+b，则a=(1 -p)+(2p -1+b)，(1 -p)2=1 -p=(1 -p)*，2p -1+b∈U(R)，a(1 -p)=b(1 -p)∈N(R)。若a=-p+b 类似可证，因此结论得证。

推论5设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 环当且仅当

1)R 的每个幂等元都是投射元；

2)R 是强π-正则的；

3)R/J(R)是弱布尔环。

定理5设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 环当且仅当

1)R 是强*-clean 的；

2)R/J(R)是布尔环、Z3或者它们的直积且J(R)是诣零的。

证明：1)⇒2)显然。

2)⇒1)由文献[4]中的推论3.2，R 是强弱诣零-clean 的；根据文献[13]中的推论5.4 即证。

推论6设R 是局部*-环，则下述条件等价：

1)R 是medium 诣零*-clean 环；

2)R/J(R)≅Z2或Z3，且J(R)是诣零的。

证明：1)⇒2)由定理5，R/J(R)是布尔环、Z3或者它们的直积且J(R)是诣零的，但R 是局部*-环，所以幂等元是平凡的，因此R/J(R)≅Z2或Z3。

2)⇒1)显然R/J(R)是弱布尔环，由于R 是局部*-环，则R 是强*-clean 由定理5 即证。

命题8设R 是*-环，则R 是medium 诣零*-clean 环当且仅当R[[x]]是medium 诣零*-clean 环。

证明：(⇒)由定理4 知，R 是强*-clean 环，由文献[17]中的推论2.10 得R[[x]]是强*-clean 环。设f(x)∈R[[x]]，则存在幂等元e∈R，使得f(0) -e∈N(R)或f(0)+e∈N(R)，因此f(x) -e∈N(R[[x]])或f(x)+e∈N(R[[x]])，则推出R[[x]]是弱诣零-clean 环。再由定理4 知，R[[x]]是medium 诣零*-clean 的。

(⇐)设对任意a∈R，由文献[4]中的命题2.1知，存在幂等元f(x)∈R[[x]]，使得a -f(x)∈N(R[[x]])或a+f(x)∈N(R[[x]])，af(x)=f(x)a。取e=f(0)，则a -f(0)∈N(R[[x]])或a+f(0)∈N(R[[x]])，af(0)=f(0)a。因为f(0)∈R 是幂等元，因此，R 是medium 诣零*-clean 环。