一类具对数非线性项的p-Laplacian方程解的无穷大爆破

武宇宇，高云柱

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文研究一类具对数非线性项的p-Laplacian方程的初边值问题：

(1)

方程(1)表述的是具有对数非线性项的偏微分方程，其中包含的p-Laplacian方程不仅在生物化学以及生物种群动态等许多物理领域中被广泛应用，而且在几何学等数学领域中也有很重要的理论意义[1-2].

对于系统(1)，文献[3]利用对数Sobolev不等式和位势井族理论研究了解的整体适定性和爆破性质；文献[4]给出了当J(u0)≤d，I(u0)<0时，弱解u(x，t)在无穷远处爆破，这里d>0是一个常数;文献[5]利用对数Sobolev不等式建立了如下具有对数非线性项的半线性热方程：

(2)

解的爆破结果.

受文献[3-8]启发，本文利用对数Sobolev不等式，建立一个具有对数非线性项的p-Laplacian方程解的爆破结果.

1 预备知识

.

(3)

如果对任意T>0，u(x，t)是问题(1)在Ω×[0，T)上的弱解，则称之为问题(1)的整体(弱)解.这里，(·，·)表示L2(Ω)空间中的内积.

(4)

(5)

引理1假设u(x，t)是问题(1)在Ω×[0，T)上的弱解，则J(u(x，t))关于t是非增的，且u(x，t)满足如下的能量恒等式

(6)

证明：当u(x，t)适当光滑时，我们可以选取ut作为检验函数来证明能量恒等式(6).方程(1)乘以ut，并在Ω上积分得

计算并整理得

(7)

结合式(4)、(7)得

(8)

对式(8)在[0，t]上积分得

证毕.

类似文献[4]中引理2.2的证明，可得如下对数Sobolev不等式.

引理2设Ω是n中的有界光滑区域，则对任意u∈W1，p(n)和任意a>0，有

(9)

2 主要结果

当I(u0)<0时，通过讨论I(u(x，t))关于t的单调性，我们将得到条件J(u0)≤d对于问题(1)的弱解在无穷远处爆破是无关紧要的.

.

证明：令u(x，t)是问题(1)的任意弱解，首先证明当I(u0)<0时，I(u(x，t))关于t是递减的.在式(3)中取φ=u，结合式(5)得

(10)

结合式(4) 、(5) 、(6)与(10)得

由Gronwall不等式得

I(u(x，t))≤I(u0)et≤I(u0)，t∈(0，T)

.

因此，对任意t≥0有I(u(x，t))<0，即I(u(x，t))关于t是递减的.

(11)

另一方面，由式(4)、(5)和能量恒等式(6)可得

注意到

则有

由柯西-施瓦兹不等式可得

进一步可得

由G″(t)=-pI(u(x，t))和I(u(x，t))≤I(u0)<0，得到

G′(t)≥G′(0)-pI(u0)t≥-pI(u0)t，t≥0，

因此，对于充分大的t，有

所以

G″(t)G(t)-(G′(t))2>0.

通过直接计算可得

(12)

对式(12)中第2式和第1式在[t0，t]上积分，分别得到

和

于是

(13)

结合式(11)、(12)和(13)，可得