基于交叉小波与小波相干的黄土高填方体浅表层水分相关关系研究*

郭冠淼 包 含 兰恒星 晏长根 郑 涵 唐 明

(①长安大学公路学院，西安 710064，中国)(②长安大学地质工程与测绘学院，西安 710054，中国)(③中国科学院地理科学与资源研究所，北京 100101，中国)(④长安大学水利与环境学院，西安 710054，中国)

0 引 言

随着我国西部大开发战略的深入实施，工程活动与地质体的安全稳定愈发引起广泛关注(Lan et al.，2022a，2022b)。尤其在西北黄土地区，平山造城、治沟造地等重大工程的有序开展产生了数量众多的大型填、挖方体，极易产生严重的工程灾害(蒲川豪等，2020；郭剑峰等，2021；Lan et al.，2022c)。黄土地区地质构造活跃、地貌演化迅速、气候区域分异显著，众多重大灾害往往与浅表层土壤水动态关系密切(兰恒星等，2003，2022；许强等，2020；孔嘉旭等，2021)，因此研究边坡浅表层水分动态可为相关工程的防灾减灾做有力支撑。

黄土地区气候干燥，水资源匮乏且蒸发量大，降雨成为了土壤水分的直接补给来源(陈伟等，2022)。总体来看，土壤水分变化与当地降水的季节性变化规律基本一致(何其华等，2003)，具有明显时间动态特征。孔凌霄等(2018)对黄土区土壤水分动态展开研究，将水分年际变化分为平稳期(1～2月)、消耗期(3～6月)、波动期(7～10月)和恢复期(11～12月)4个时期，发现年最大土壤水分与年最大降水量所在月份相同，表明降水的季节分配对土壤水分影响显著。由于研究区环境以及覆被情况不同，土壤水分动态时段的划分有所差异(张建军等，2011；包含等，2011，2014)。气候、植被种类和土壤条件等的影响使土壤水分在垂直剖面上表现出空间动态特征。赵丹阳等(2021)研究表明，黄土区林地土壤水分垂直变化可划分为土壤水分含量速变层和相对稳定层两个层次，且随着深度增加，土壤平均含水量先增大后减小。总之，以上研究鲜有从三水转化的角度分析，并且大多只针对平坦地形，没有考虑边坡斜面地形对水分动态与相关关系的影响。

与土壤水分相关的各类水分间相互转化、相互制约的作用关系涉及降雨入渗、径流、蒸散发以及地下水补给等水文过程(Zhu et al.，2021)。大气水向土壤水的转化即降雨入渗，已有大量相关的经典理论研究，如Green-Ampt、Richards、Horton入渗方程等(Green et al.，1911；Richards，1931；Horton，1933)。土壤水与潜水的相互转化，表现为土壤水垂直入渗补给潜水。此类水分转化的主要理论为土水势理论，水势梯度促使水分由高势能位向低势能位移动，水分运动类型可分为入渗型、蒸发型、蒸发-入渗型和复合型(李奕然等，2021)。大气水向潜水转化，指降雨通过优势通道直接补给潜水。这种优先流是一种非平衡流，由于形成机理及湿润峰不同而种类繁多，可分为大孔隙流、指流和漏斗流等(孙恒飞等，2021)。与土壤水相关的水分转化还包括土壤水向地表水转化即侧向壤中流、土壤水转化为大气水即土壤蒸发等。以上各类水分间的相关关系复杂、相互影响又相互制约，许多研究结论只在平坦地形条件下成立，而斜坡面地形因素对水分转化的影响往往被忽视，因此厘清坡面地形因素影响下水分之间的转化关系对于理解整体的水分循环与平衡具有极大帮助。

土壤水分数据的精准高效获取是研究土壤水分动态与相关关系的基础(边世强等，2020)。以测量尺度为划分标准，目前测量方法可分为定点和区域测量(常学尚等，2021)。其中定点测量包括：烘干法、张力计法、中子法、时域反射仪法等，此类方法可直接测定土壤含水量，操作简单且可对原位土壤长期监测。区域测量多借助遥感手段，测量空间范围大，但只能探测地面以下数厘米，且精度不高。对于边坡尺度的浅表层土壤水分动态与相关关系的研究，需要长时序数据做支撑，因此适合开展现场原位监测。

图1 研究区位置概况及监测点与传感器布设情况Fig.1 Location of the study area and arrangement of monitoring points and sensorsa.研究区地理位置；b.高填方边坡；c.监测点剖面图；d.传感器埋设情况

近年来学者们开始利用更先进的技术手段和研究方法展开水分动态与相关关系研究。例如，Ke et al.(2019)利用氧同位素示踪法，研究非饱和土壤水分的时空演化和入渗机理；李萍等(2013)通过现场试验模拟天然降雨入渗过程，研究土壤水分动态变化；张在勇等(2021)利用改进的有限分析法模拟包气带水分运移，推导了用于求解Richards方程的可同时获取空间、时间项解析解的有限分析计算公式。总之，有效分析土壤水分数据对于研究水分动态与相关关系至关重要，目前主要的分析方法有地统计分析、小波分析、经验正交函数分析、模型模拟和过程分析等(常学尚等，2021)。其中小波分析是一个从不同时间尺度来分析时间序列的有效工具(Torrence et al.，1998)，其中交叉小波变换和小波相干分析的优点是可以分析两时间序列在时频空间内的相关关系。该方法已在气象、天文等领域广泛应用，虽然近年来一些学者也开始用于土壤水分动态与相关关系研究(李增尧等，2017；Lee et al.，2019)，但鲜有用于黄土高填方边坡中水分关系的研究。

针对治沟造地工程产生的黄土高填方体，本文采用长时序、多点位的现场原位监测手段监测各类水分动态，利用连续小波变换对雨季的降水、高填方体土壤水分以及地下水变化进行多时间尺度分析，通过交叉小波变换及小波相干分析，研究不同时间尺度下边坡相关的各类水分间的相互影响关系，研究边坡斜面地形对水分动态与相关关系的影响。

1 研究区概况与现场监测

为缓解延安地区耕地资源紧张的压力，于2015年开展治沟造地工程后，形成了研究区的高填方边坡(图1b)。填方坡体具体参数如下，整体东西长310m，南北宽150m，填方高度22m，填方量约7×105￣￣m3。边坡设计有4级台阶，整体坡度约28°，坡面的垂直投影长45m，坡面采用本地灌木紫穗槐和草本植物进行防护。

2 研究方法

2.1 交叉小波与小波相干分析流程

利用小波分析中的交叉小波变换和小波相干分析能较好地解释两时间序列在时频空间内的相关关系。基于此方法对浅表层水分间的相关关系进行分析，首先，对水分原始数据预处理，以得到两个相同时域的时间序列。其次，分别进行连续小波变换、交叉小波变换以及小波相干分析，探明序列的响应变化、多尺度周期特征以及相关性。最后，从水分间的相互转化关系和相关程度方面对浅表层水分间的相关关系进行探究。具体流程如图2所示。

图2 交叉小波与小波相干分析流程图Fig.2 Flow chart of Cross Wavelet and wavelet coherence analysis

2.2 数据预处理与连续小波变换原理

本文所用数据在分析前均进行对数化处理，以保证其正态性。之后进行连续小波变换(CWT)。对于给定的时间序列X(t)，其连续小波变换定义为：

(1)

小波功率谱也称为自小波功率谱，定义为：

(2)

2.3 交叉小波变换

交叉小波变换(XWT)是将小波变换与交叉谱分析结合，从多时间尺度来研究两时序在时频域中的相关关系。两个时间序列X和Y的交叉小波变换定义为(Grinsted et al.，2004)：

(3)

2.4 小波相干谱

交叉小波功率谱可以显示两序列的共同高能量区域，对于低能量区域却反映不佳。小波相干谱分析(WTC)可以反映时频空间中两时间序列的协方差强度，涵盖了其低能量区的相关性。小波相干定义为(Grinsted et al.，2004)：

(4)

式中：S为平滑算子。小波相干谱的显著性检验采用蒙特卡罗方法(Monte Carlo methods)。小波相干值R2介于0～1之间，与Pearson相关系数相似，可看作是在时频空间下的局部相关系数，其值越大说明相关性越强。

3 结果与分析

3.1 土壤水分动态监测结果

为探究雨季降雨量、边坡浅表层土壤水以及地下水的关系，选取2019年7月至10月监测所得6个深度的含水率值、4个位置的地下水埋深和降雨量展开分析(图3)，此时段累计降雨达496mm，占2019年全年降雨量(732.4mm)的68%。

图3 降雨、地下水以及土壤水的长时序变化Fig.3 Long-term temporal variations of rainfall，groundwater and soil moisture

图3显示，7月中旬至8月上旬降雨主要以短时强降雨为主，8月中旬至8月底降雨强度降低，进入9月后降雨频率明显减少且以持续性小雨为主。土壤水分与地下水随降雨的响应变化明显。地下水整体随着时间逐渐上升，尤其是M4点地下水的变化显著，最高可出露地表，变幅最高达1.6m。可见降雨、边坡浅表层土壤水以及地下水三者间关系密切。

3.2 降雨与表层土壤水的关系.

3.2.1 降雨与表层土壤水的响应变化

将降雨和各测点10cm深度的含水率数据进行连续小波变换(图4)，以分析其主要波动周期与显著时段等信息。能量谱图中右侧色阶柱为连续小波变换系数，数值越大表明波动越强。图中黑色粗实线内的值通过了95%置信水平的红噪声检验，红色虚线框内为受边缘效应影响较大的区域，简称COI(影响锥)。

图4显示，在相同时域内降雨和表层土壤水存在明显响应变化，其中小尺度涵盖时域不连续、跨度大，而大尺度涵盖时域连续、跨度小。研究期内降水量存在0.44～3.56d(32×0.0139～256×0.0139)和7.12～28.47d(512×0.0139～2048×0.0139)两个主要的振荡周期时间尺度，各测点表层10cm的水分含量也具有相似的周期时间尺度，而研究区因地形地貌以及气候条件限制，土壤水分除降雨外无其他补给来源。因此雨季中降雨是激发土壤水显著变化的主要因素。

图4 降雨和10cm含水率的连续小波功率谱Fig.4 Continuous wavelet power spectrum of rainfall and 10cm depth water content

图5 降雨与10cm含水率的交叉小波变换谱Fig.5 Cross wavelet transform spectrum of rainfall and 10cm depth water content

3.2.2 降雨与表层土壤水的多尺度周期特征

为分析降雨和表层土壤水的主要高能量共振周期、显著时段和时滞特征，又进行了交叉小波变换(图5)。图5中右侧色阶柱为交叉小波功率谱密度，箭头方向表示两者的相位关系：箭头向右表示两序列同相位，箭头向左表示反相位，箭头垂直向下表示前一序列提前后一序列1/4个周期变化，箭头垂直向上表示后一序列比前一序列提前1/4个周期变化。

图5表明，M1、M2和M3 3个点位有相似的高能量共振周期和相位关系，只在时域分布上有差别，存在两个高能量共振周期时间尺度：0.44～3.56d(32×0.0139～256×0.0139)和7.12～28.47d(512×0.0139～2048×0.0139)。这表明降雨后短期内雨水入渗激发了土壤水变化，两者之间相关程度提高，在接近月尺度上的高相关性可能是雨季降雨频繁导致的(Lee et al.，2019)。两序列的相位关系稳定且箭头基本指向右下，表示降雨和表层土壤水呈正相关，且降雨变化超前土壤水分变化。各测点交叉小波结果中两序列的相位关系也证实了降雨向土壤水转化的过程。

3.2.3 降雨与表层土壤水的相关性

为进一步分析降雨和表层土壤水的多尺度相关性特征，揭示两者的相关转化关系，进行小波相干分析(图6)，图中右侧色阶柱为小波相干值R2，表征相干性强弱。

图6 降雨和10cm含水率的小波相干谱Fig.6 Wavelet coherence spectrum between rainfall and 10cm depth water content

由图6可知，M1、M2和M3 3个点位在32～256周期上具有相似的相关性，而在其他尺度上相关性差异明显。显著相干面积百分比(PASC)可以量化表征两序列的相关程度，对比可得：M2(48.24%)>M1(47.53%)>M3(44.07%)>M4(23.03%)。值得注意的是，坡脚M4点的相干性远远小于其他点位，且显著相干的时域分布也有所不同，在研究时域末段即八月下旬之后几乎无显著相干性。这说明，降雨与浅表层土壤水关系密切，但坡脚位置的低相干性可能存在其他影响因素主导。

3.3 不同深度土壤水的关系

3.3.1 不同深度土壤水的多尺度周期特征

为研究垂向土壤水间的关系以及多尺度周期特征，将4个测点各自垂直方向相邻两深度的含水率数据分别进行交叉小波变换(图7)。

图7 垂向不同深度含水率的交叉小波变换谱Fig.7 Cross wavelet transform spectrum of water content at different vertical depths

由图7可知，边坡垂向土壤水间的显著共振区间随深度逐渐缩小，相位箭头基本指向右下，即上部土壤水超前下部土壤水变化，表现为垂直入渗补给。值得注意的是，上坡段M2点和中坡段M3点垂向土壤水的相关性相比于同深度坡顶M1点更强；M1点和M2点50cm深度以下几乎不存在显著相关性，而坡面M3点在50～100cm还存在较强的相关性。这说明，相比于坡顶的平坦地形，斜坡面的存在使得土壤水分的变化更复杂，土壤水一维垂向的相关关系受到显著影响。

3.3.2 不同深度土壤水的相关性

进一步通过小波相干分析同时考察低、高能量区域垂向土壤水间的相干性(图8)，以明晰土壤水间的交换转化关系。

图8 垂向不同深度含水率的小波相干谱Fig.8 Wavelet coherence spectrum of water content at different vertical depths

由图8可得，垂向各深度组合土壤水间的相关性存在明显的时域变化差异。7月中旬～8月中旬时段，随深度增加显著相干周期连续性逐渐变差，土壤深层几乎不存在相干性；8月下旬～10月上旬时段，随深度相干性变化不大、连续性较好。可能因为7月中旬～8月中旬以短时强降雨为主，水分入渗较浅，深部水分交换不强烈，从而导致深层相干性较弱，同时蒸散发强烈致使相干区域连续性较差；然而8月下旬～10月上旬多以持续性降雨为主，总体深层的水分交换频繁且蒸散发逐渐减弱，使得相干性随深度变化不大且连续性较好。这说明，土壤水垂向间的相干性变化与季节差异有关，主要受雨季的降雨和蒸散发影响较大。

3.4 地下水与土壤水的关系

3.4.1 地下水与土壤水的响应变化

为了明晰地下水与边坡土壤水的关系，对研究期内各监测点的地下水埋深变化和最深监测位置处的含水率进行连续小波变换(图9)。

图9 地下水与最深监测位置含水率的连续小波功率谱Fig.9 Continuous wavelet power spectrum of groundwater and water content in deepest monitoring position

由图9可知，研究期内只有M4点位的地下水以及土壤水分波动明显，且在相同的时频域内通过了95%的红噪声检验。因此地下水与土壤水关系的研究在下文中主要关注坡脚M4点。

3.4.2 地下水与土壤水的相关性

由上文可知，坡脚处地下水与土壤水关系密切。因此针对M4点的地下水与各深度的水分分别进行小波相干分析得图10。

图10 地下水与不同深度含水率的小波相干谱Fig.10 Wavelet coherence spectrum of groundwater and water content in different depths

由图10可知，坡脚M4点10～50cm深度内水分具有相似的相干性，均存在两个显著相干时间尺度：间歇性的0.￣44～3.56d(32×0.￣0139～256×0.￣0139)和连续的7.￣12～28.￣47d(512×0.￣0139～2048×0.￣0139)。显著相干面积百分比大小对比：10cm(35.89%)>20cm(29.04%)>30cm(28.3%)>50cm(27.22%)，相干性差异不大且随深度递减，相位箭头大致指向左下，即10～50cm深度的含水率超前地下水变化，表现为土壤水补给地下水。因为降雨是激发土壤水分和地下水变化的主要因素，坡脚处地下水位埋深浅并且波动大，所以坡脚位置地下水与土壤水的相干分析结果类似于降雨与土壤水的显著相干性时间尺度。

值得注意的是，地下水与土壤水的相干性在100cm深度处突然增大，显著相干面积百分比为34.42%。相位箭头基本指向左上，表明地下水埋深与含水率反相位，呈正相关关系，即地下水上升变化超前含水率变化。综上分析可得，坡脚位置的地下水上升与紧邻其上部的土壤水含量增加成正相关关系，存在地下水向上补给土壤水的可能。由图3可知，研究时段内M4点的地下水埋深最大为160cm，而深度100cm处的土壤水分受地下水影响显著，因此地下水向上的补给范围大概在地下水面以上60cm。

4 讨 论

4.1 小波分析方法的有效性及普适性

区别于傅里叶变换，小波变换适用于对非平稳信号的分析，它可从不同尺度反映时间序列的时频两域信息(Torrence et al.，1998)。目前小波分析飞速发展，已被广泛应用于自然科学和工程技术等领域的时间序列分析。水文气象数据的时间序列往往具有非平稳性和多时间尺度变化等复杂特性(桑燕芳等，2013)，而分析这些数据需要在特定的时间和尺度范围内进行，因此小波分析方法非常适合于分析土壤水分在不同时间尺度上的非平稳特征。实际上，利用小波分析对土壤水分进行探究方面已获得较好的应用(付强等，2016；Liu et al.，2017)。土壤水分与多种水文气象数据之间的相互关系(Creutzfeldt et al.，2012；Ding et al.，2013)，以及针对土壤水分含量的反演与预测方面(蔡亮红等，2018；丁琴等，2022)，均可通过小波分析有效解决。

4.2 降雨与浅层土壤水的关系分析

将每个时间尺度下整个时域内的小波相干值取平均，得到平均小波相干值R2随时间尺度的变化(图11)。显著的小波相干性与时间尺度之间的关系有助于确定土壤水分受降雨响应的有效时间尺度。

图11 不同监测点的降雨与浅层土壤水小波相干值变化及PASCFig.11 Variation of wavelet coherence and PASC between rainfall and shallow soil water at different monitoring points a.降雨与10cm土壤水的平均小波相干值R2随时间尺度的变化；b.95%置信区间下的显著相干面积大小

由图11a可知，纵观整个时域，边坡浅层土壤水与降雨的相关关系存在明显周期变化特征。整体上在0.06～1.78d(4×0.0139～128×0.0139)和3.56～28.47d(256×0.0139～2048×0.0139)两个时间尺度内，浅层土壤水与降雨的相关值R2呈增长趋势；而在其他时间尺度内，如0.03～0.06d(2×0.0139～4×0.0139)和1.78～3.56d(128×0.0139～256×0.0139)，两者的相关性却呈减弱趋势，这可以用降雨的延迟入渗以及雨季日尺度上蒸发影响大于降雨影响来解释。值得注意的是，在1.78～14.23d(128×0.0139～1024×0.0139)时间尺度内，M1点和M2点，以及M2点和M3点对比显示，R2的极大值逐渐变小，且对应的时间尺度也变小。这表明在一定时间尺度内，边坡坡面效应影响在降雨与边坡土壤水相关关系中占主导。

坡脚M4点的相干值R2的变化趋势和量值与其他点位差异明显，随着时间尺度增大，数值差距越来越大，最后在月尺度上呈降低趋势。由图11b可知，降雨与边坡浅层土壤水的相关性在坡脚位置不明显，这说明，坡脚存在比降雨影响更显著的主导土壤水变化的要素。将M4点10cm深度的水分别与降雨和地下水进行相干性分析(图6和图10)，得到两者的PASC分别为23.03%和35.89%，由此可得坡脚位置土壤水的变化受地下水主导，即降雨是土壤水变化的激发要素，而地下水是控制要素。

4.3 土壤水的一维垂向关系分析

土壤水分沿垂直剖面的显著小波相干性可以用垂向流的发展来解释。将整个时域在每个时间尺度下的小波相干值取平均，得到平均小波相干值随时间尺度的变化(图12)。

图12 边坡各点位垂向土壤水的平均小波相干值R2随时间尺度的变化Fig.12 Variation of mean wavelet coherence R2 of vertical soil water at each monitoring point of slope with time scale

图13 垂向各深度组合土壤水在95%置信区间下的PASCFig.13 The PASC of soil moisture of different vertical depths in 95% confidence interval

由图12可以看出，边坡整体土壤水分垂向之间表征相关程度的R2值随着深度增加而减小，且R2的极大值所对应的时间尺度随深度逐渐增大。这是由于土壤的滤波效应(Parent et al.，2006)，上层土壤过滤掉高频小周期时间尺度信号，剩下的低频大周期时间尺度信号进入深层土壤。然而这种滤波效应也受坡面地形因素影响，表现为与坡顶相比，总体上坡面位置100cm以上的R2值增大，而100cm以下则明显减小；R2值有明显上升趋势时的起始时间尺度随着从坡顶到坡面位置的改变而减小，例如30～50cm和50～100cm深度组合的R2值明显上升时对应的尺度范围：M1(64～128)、M2(16～32)、M3(32～64)，表明浅层土壤过滤掉了更多的信号，而进入深层土壤的信号变少。这说明，坡面地形会在一定程度上增强土壤的滤波效应。

由图13可得，整体上PASC值随深度增大而减小，从坡顶M1点至坡面上段M2点，M2点至坡面中段M3点，PASC值随深度减小的趋势变缓，其中坡面M3点100cm内浅表层的减缓趋势最明显。这是因为受边坡坡面效应影响，坡面部位相比于坡顶部位更易发生侧向流(Tao et al.，2017)，这种侧向水流可以补充坡面位置的垂向土壤水流，从而间接加强了浅表层土壤水的垂向相关性，即增强了边坡坡面位置垂向土壤水间的交换转化。Lee et al.(2019)也证实了坡面位置可能存在侧向流补给。

将M1、M2和M3 3点各深度组合的PASC值分别作平均得36.39%、37.6%、39.17%，可以看出从坡顶至上坡段，上坡段至中坡段，垂向土壤水间的交换转化逐渐增强，其中30～50cm深度最为明显。这说明，边坡坡面效应的存在可以增强垂向土壤水间的交换转化。

5 结 论

本文通过对黄土地区的高填方边坡水文信息展开原位长时序监测，应用小波分析方法探究了坡面效应影响下黄土高填方边坡浅表层水分间的相关关系，取得了如下结论：

(1)小波分析方法可用于半定量化研究黄土高填方边坡内外部水分间的相关关系，优势是其中的交叉小波和小波相干谱可在时域和频域上清晰表现两个时间序列的相关性、变化细节、局部或全局特征。

(2)在研究期内发现降雨和边坡浅层土壤水之间存在两个主要的共振时间尺度：0.06～1.78d和3.56～28.47d，在两时间尺度段内降雨与浅层土壤水的相关性呈增强趋势，即两者的相关性强弱存在明显时间尺度依赖。从坡顶至上坡段位置，以及上坡段至中坡段位置，降雨和土壤水间的相关性R2值均降低，主共振时间尺度逐渐减小，表明坡面效应的存在不利于降雨向土壤水的转化。

(3)研究发现坡顶、上坡段、中坡段位置的显著相干面积百分比的平均值分别为36.39%、37.6%、39.17%，坡面的存在提高了浅表层垂向土壤水间的交换转化，使垂向上水分交换减缓的趋势越明显，表明边坡坡面效应增强了垂向土壤水间的交换转化。