基于IRS辅助多用户通信系统的信道容量优化
2022-11-19刘金枝梅志强梁家敏
王 丹, 刘金枝, 梅志强, 梁家敏
(重庆邮电大学通信与信息工程学院, 重庆 400065)
0 引 言
随着5G无线通信网络的商业化,人们渴望获得更快的数据传输速度。大规模多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)、毫米波通信等5G关键技术为实现此功能做出了有效贡献。然而,额外的高硬件成本,巨大的功耗/能源消耗以及5G基站的选址是其在实践中实施的主要障碍[1-2]。因此,为了在5G和无线网络之外实现绿色和可持续发展,寻找频谱和高能效技术的研究对于可持续容量增长仍然至关重要。为了解决上述挑战,在5G和下一代移动通信系统中,智能反射面(intelligent reflecting surface,IRS)被认为是一种有前途的、绿色、高成本效益的技术。IRS是由电磁材料组成的人造表面[3]。具体来说,IRS可以通过在表面上集成大量低成本的无源反射元件来智能地调整无线传播环境[4]。此外,IRS外形小巧,重量轻,可以轻松地从墙壁,天花板,广告面板甚至衣服上安装/拆卸[5-7],为实际实施提供了很高的灵活性。并且,与传统的多用户通信系统相比,多天线基站若使用线性预编码器去同时服务不同的用户,这比单天线的基站极大地提高了频谱效率,但是当不同的用户靠得比较近时,会产生较严重的共信道干扰,那么传统的线性预编码器对消除用户间的干扰无效[8]。但是，通过有效地布置IRS可以解决上述问题,因为IRS通过优化其反射系数来提供附加的控制信号路径,可以有效地减少多用户之间不期望的信道干扰[9]。因此,IRS具有良好的干扰相消能力。基于上述优点,IRS在未来的无线网络中具有广阔的前景。
针对先前有关IRS辅助无线通信系统中IRS反射优化的工作。在文献[7]中,针对IRS辅助的多用户多输入单输出(multi input single output, MISO)通信系统,通过利用半正定松弛(semi-definite relaxation, SDR)方法和交替优化技术来最大化每个用户的接收功率。但是,SDR方法不仅具有高复杂度,并且只能获得近似解。此外,该系统中IRS上的每个反射元素都具有连续的相移,由于硬件的限制,这会使制造成本高昂,甚至无法实际应用。在文献[10]中,作者在设计资源分配时采用了梯度下降搜索和顺序分数规划(sequential fraction programming, SFP),以最大程度地同时提高能量或频谱效率。然而,IRS引起的单位模量约束是通过SFP方法中的一系列近似子问题解决的,这可能会导致一些误差并导致性能损失。在文献[11]中,通过利用连续凸逼近来增强物理层的安全性,研究了IRS辅助通信中用于安全通信的资源分配设计。在文献[12]中,作者提出基于梯度下降算法的复圆流形(complex circle manifold, CCM)法来解决单位模量约束。虽然可以获得相移的全局解,但是CCM法是黎曼一阶算法,越接近目标值,步长会越小时,进而收敛速度会变慢,求解会需要多次迭代。综上所述,在IRS辅助通信系统中,目前没有一种方法可以在具有较低复杂度和快速收敛速度时保持优异的性能。因此,提供有效的IRS反射优化算法是对于提高IRS辅助通信系统的性能是很有必要的。
因此,在基站(base station, BS)功率限制和IRS单位模量约束下,本文通过共同优化BS预编码矩阵和IRS相移向量来实现所有用户信道容量的最大化。但是由于优化变量高度耦合,以及单位模量约束是高度非凸的,容量最大化问题较为棘手。本文的贡献总结如下:
(1) 针对非凸非确定性多项式(non-deterministic polynomial, NP)难优化问题,通过利用基于信道容量与加权最小均方误差(weighted minimum mean square error, WMMSE)之间的等价关系,将原问题转换成一个易解决的问题形式。再利用交替优化算法对预编码矩阵和相移向量进行交替优化。
(2) 当固定相移向量时,预编码矩阵优化问题变成一个凸优化问题,由约束条件将其看作一个二阶锥规划问题(second order cone problem, SOCP),然后使用标准优化包[13]求解最优预编码矩阵。当固定预编码矩阵时,经过复杂的矩阵变换将相移优化问题转换为受单位模量约束的非凸二次规划(quadratic programming, QP)问题。然后,根据黎曼流形优化技术[14],单位模量约束条件可以构成一个复圆流形并嵌入搜索空间后,使问题变成一个无约束问题。最后,然后,利用黎曼信赖域(Riemannian trust-region, RTR)算法获得局部最优解。
(3) 数值结果表明,相比于基准算法,RTR算法在保持较低复杂度和快速收敛速度的同时提高了性能。
1 系统模型
如图1所示,本文研究了一个IRS辅助多用户MIMO通信系统。
图1 IRS辅助多用户MIMO通信系统模型
该系统中,由N个反射元件组成的IRS协助带有M1根天线的BS和带有M2根天线的K个用户之间的下行链路通信。由于路径损耗的影响,本文仅考虑由IRS首次反射的路径,不考虑二次及之后的反射路径。此外,假设所有信道都是准静态平坦衰落信道,并且其信道状态信息(channel state information, CSI)在BS处是已知的。因此,用户k处的基带接收信号yk可以写成:
(1)
此外,本文考虑一个实用的离散相移的IRS模型,为了利于实现,设置振幅系数α=1,θn仅可取值为Lps=2b个离散值,其中b为位数[15]。那么,θn在间隔[0,2π)将被均匀量化,满足集合θn∈F={0,Δθ,…,(Lps-1)Δθ},其中Δθ=2π/Lps。那么,对于用户k而言,信道容量表示为
(2)
(3)
式中:Pmax>0是BS的最大发射功率阈值。然后,针对IRS处的反射优化约束,已知IRS反射矩阵φ中的φn=ejθn,注意到离散相移θn通常很难解决。因此,取出φ的对角元素定义为向量ζ=[ζ1,ζ2,…,ζN]H,其中ζn=ejθn,∀n∈N。那么,离散相移约束θn∈F可以等价于单位模量约束[12]:
|ζn|=1,∀n∈N
(4)
因此,信道容量最大化问题可以写成:
(5)
式中:ωk表示用户k权重因子,限制条件C1表示所有用户的发射功率之和不能超过其最大发射功率Pmax,C2表示IRS处的单位模量约束。
2 问题变形
从式(5)中可以观察到,此时的预编码矩阵和相移向量是耦合的,并且约束条件C2是高度非凸的,故该问题是一个非凸NP难问题。因此,本文首先利用最优解码矩阵的均方误差(mean square error, MSE)和信道容量表达式之间的关系[16]对式(5)进行变形。为利于实现,本文考虑使用线性解码矩阵,那么估计信号向量表示为
(6)
(7)
rk(W,D,G,ζ)=log2|Wk|-tr(WkEk)+q
(8)
因此,通过利用信道容量表达式和MSE矩阵之间的关系[16-17],可以建立式(5)与上述函数之间的联系。那么,式(5)重新表示为
s.t. C1, C2
(9)
与式(5)相比,尽管式(9)引入了两个优化变量,但更易于解决。因为对于式(9),当给定G或ζ时,如果辅助矩阵W和解码矩阵D也固定时,则rk(W,D,G,ζ)对于每组优化矩阵都是一个凹函数,可以利用交替优化算法对预编码矩阵G或相移向量ζ进行求解。
3 预编码矩阵优化
利用交替优化算法,首先考虑解码矩阵D与辅助矩阵W,因为这两个优化变量仅与函数rk(W,D,G,ζ)有关。当求解码矩阵Dk的最优解时,通过固定W,G,ζ,并将函数rk(W,D,G,ζ)关于Dk求一阶导数后令其等于零。最优解码矩阵Dk为
(10)
同理,最优辅助矩阵Wk为
(11)
然后,在对发射预编码矩阵G的优化时。对于任何给定的W,D,ζ,将Ek代入式(9)后,通过忽略常数项,可以将发射预编码矩阵优化问题表示为
(12)
s.t. C1
由式(12)易知,该问题是一个凸优化问题,并且约束条件C1是一个二阶锥约束条件。因此,该问题可看作是一个SOCP问题,可以利用现有的标准优化工具包例如CVX[13],直接求得发射预编码矩阵的最优解。
4 相移向量优化
同理,在固定矩阵W,D,G时,将Ek代入式(9)并忽略常数项,关于相移向量的优化问题可以表示为
s.t. C2
(13)
s.t. C2
(14)
式中:
ζ是由φ的对角元素的收集向量,那么根据文献[18]中的矩阵等式,有以下等式:
tr(φHBφC)=ζH(B⊙C)ζ
(15)
同理,令v=[[V]1,1,[V]2,2,…,[V]N,N]H为矩阵V对角元素的收集向量,有tr(φHVH)=vTζ,tr(Vφ)=ζHv*。那么,式(15)中的问题可以变成以下等效问题:
s. t. C2
(16)
式中:矩阵U=B⊙C。显然,约束条件C2中的单位模量约束是解决式(16)中问题的主要障碍。针对该非凸约束条件,本文决定利用黎曼流形优化工具将该约束条件嵌入搜索空间[19],求解基于约束空间的无约束优化问题。
首先,该问题的单位模量约束可看作是N个复数圆的乘积。那么,定义一个如图2所示的复圆乘积流形M:
图2 黎曼流形几何释义
MSN={ζ∈CN:|ζn|=1,∀n∈N}
(17)
式中:S{ζ∈C:ζ*ζ=Re{ζ}2+lm{ζ}2=1}表示一个复数圆。在算法阐述之前,首先提供关于流形优化的背景知识[14]。
根据图2,设当前迭代点为ζ(i)。可以看出对于乘积流形M,切空间Tζ(i)M对算法搜索方向ηi∈Tζ(i)M的确定意义重大。对于任何点ζ(i)∈M,切空间由所有经过该点的切向量组成。那么,在点ζ(i)∈M上的切空间Tζ(i)M如下所示:
(18)
式中:z是在点ζ(i)上的切向量;0N是N维零向量。
在欧氏空间中,欧氏梯度表示某一函数在该点处变化最快的方向。那么在点ζ(i)∈M,式(16)目标函数f(ζ(i))的欧氏梯度Gradζ(i)f具体如下所示:
Gradζ(i)f=2(Uζ(i)+v)
(19)
与欧式梯度相似,黎曼梯度是目标函数增长最快的切线方向。并且目标函数的黎曼梯度gradf(ζ(i))被定义为满足以下条件的切空间中的独特元素[14]:
Df(ζ(i))[ζ(i)]=〈gradf(ζ(i)),ζ(i)〉
(20)
式中:Df(ζ(i))为在点ζ(i)时f(ζ(i))的方向导数。如图2所示,在切空间Tζ(i)M上,黎曼梯度是欧氏梯度的正交投影,如下所示:
(21)
如图2所示,在流形上,沿着点ζ(i)∈M的切线向量方向移动来找到在流形上的目标点定义为收缩Rζ(i)(ηi):Tζ(i)M→M,是从切线空间Tζ(i)M到流形M的映射[14]。黎曼指数收缩是在黎曼流形优化时最常用的收缩,但其计算成本可能很高。因此,本文决定使用二阶收缩替代指数收缩,因为其不仅具有较低的计算成本,并且是指数映射的近似值[20]。因此,点ζ(i)∈M处的收缩Rζ(i)(ηi)定义为
(22)
黎曼黑塞是梯度向量场相对于Levi-Civita连接的协变导数,当在点ζ(i)处时,是从切空间Tζ(i)M到自身的线性映射Hessf(ζ(i))[14],如下所示:
(23)
(24)
式中:DGradf(ζ(i))[ηi]是Gradf(ζi)在ζ(i)上沿搜索方向ηi∈Tζ(i)M的方向导数,根据式(20)计算如下:
DGradf(ζ(i))[ηi]=〈2U,ηi〉
(25)
在文献[12]提出的CCM方法,是一种一阶黎曼流形优化方法,主要利用的是黎曼最速下降方法。该方法得到的是全局解,但不能保证全局最优解,并且越接近目标值,步长越小时,收敛速度会变慢,求解会需要多次迭代。因此,本文提出一种二阶黎曼流形优化方法——RTR算法。该算法利用二阶几何形状能够避开鞍点并获得更准确的结果,同时具有低复杂度和快速收敛速度。
首先,需要构造一个信赖域子问题。在第i次迭代时利用二次逼近,在流形M上将目标函数f(ζ(i))的二阶泰勒展开定义一个二次模型是足够的[14]。那么,在点ζ(i)∈M的由二次模型构成的信赖域子问题,如下所示:
(26)
式中:ηi∈Tζ(i)M是当前迭代的搜索方向;Δi是当前迭代的信赖域半径。对于式(26)中的信赖域子问题,截断共轭梯度(truncated conjugate-gradient, TCG)算法特别适用于解决该问题[14]。因为尽管随着IRS反射元件数量N增加时,问题规模也逐渐变大,TCG算法依旧可以快速地处理每个信赖域子问题。
然后,是否调整信赖域半径Δi和更新下一迭代变量ζ(i+1),由以下评价函数确定:
(27)
根据式(27)可以看出,该评价函数[14]定义是在第i次迭代时目标函数的实际下降量f(ζ(i))-f(Rζ(i)(ηi))与二次模型函数的预测下降量mζ(i)(0)-mζ(i)(ηi)的比值。根据计算的ρi,如果ρi<1/4,那么需要减小信赖域半径Δi和重新计算搜索方向ηi;如果ρi→1时,这表明二次模型和目标函数在信任区域中具有良好的近似性,可以在下一次迭代时扩展信赖域半径。RTR算法的关键步骤如算法1所示。
算法 1 RTR算法步骤 1 初始化:最大信赖域半径Δ>0,初始信赖域半径Δ0∈(0,Δ), 步长接受阈值ρ'∈0,14 ,初始迭代点ζ(0)∈M和算法迭代停止门限值ε。步骤 2 for i=0,1,… do
步骤 3 求解式(26)中的信赖域子问题获得搜索方向ηi步骤 4 根据式(27)计算比值ρi步骤 5 调整信赖域半径Δi+1=min(2Δi,Δ), ρζi>34; ηi=Δi14Δi, ρζi<14Δi, 其他步骤 6 计算下一迭代变量ζ(i+1)if ρi>ρ', then ζ(i+1)=Rζ(i)(ηi)elseζ(i+1)=ζ(i)步骤 7 i←i+1步骤 8 untilgradf(ζ(i))2≤ε步骤 9 end for步骤 10 输出:当前迭代点ζ(i)
参考文献[14]中有关RTR算法的收敛性分析,表明RTR算法产生的序列{ζ(i)}将收敛至目标函数f(ζ(i))的固定点集合,即利用该算法将最终收敛于目标函数的局部最优值。
5 交替优化算法与复杂度分析
5.1 交替优化算法
基于上述对预编码矩阵和相移向量的优化分析,解决式(9)的关键步骤总结在算法2中。
算法 2 交替优化算法步骤 1 初始化:当前迭代次数i=0,最大迭代次数imax,初始预编码矩阵G(0)和初始相移向量ζ(0),误差容忍值ε,计算式(5)中的目标函数值R(G(0),ζ(0))步骤 2 给定G(i)和ζ(i)时,计算式(10)中的最优解码矩阵D(i)步骤 3 给定G(i),ζ(i),D(i)时,计算式(11)中的最优辅助矩阵W(i)步骤 4 给定W(i),ζ(i)和D(i)时,利用CVX工具求解获得最优预编码矩阵G(i+1)步骤 5 给定G(i),W(i)和D(i)时,利用RTR算法求解相移向量ζ(i+1)步骤 6 if|R(G(i+1),ζ(i+1))-R(G(i),ζ(i))|R(G(i),ζ(i))<ε or i>imaxBreak;else i=i+1;返回步骤2;end if
5.2 复杂度分析
(28)
此外,与本文提出的RTR算法相比较的CCM算法,其计算复杂度为O(TCCMN2+N3)。其中TCCM代表CCM算法的总迭代次数,下一节的数值结果将比较其收敛速度。
6 仿真与数值结果分析
在本节中,提供数值结果来证明本文的理论分析以及所提出算法的出色性能。参照文献[7],本文考虑一个IRS辅助的下行链路通信系统,该系统由具有M1=4根天线的BS和M2=2根天线K=4个用户组成,数据流q=2,IRS反射元件数量N=20。假定所有涉及的信道都服从独立瑞利分布,呈现平坦衰落,其中以dB为单位的路径损耗模型[12]表示为
(29)
式中:PL0为参考距离d0=1 m时的路径损耗,设定为-30 dB;α为路径损耗指数,均设定为3。除稍后指定的某些特定参数外,其他参数如表1所示。
表1 仿真参数
根据表1,已知BS和IRS的固定位置,那么假设用户随机地分布在以(xu,0)为中心,半径为10 m的圆内,如图3所示。为了便于实施,假设xu=90 m,即用户位于IRS附近。
图3 IRS辅助MIMO多用户情况 (俯视图)
然后,本文将以下方案作为基准方案与RTR算法进行比较。
(1) CCM算法:交替优化算法的步骤5用文献[12]中的CCM算法代替求解。
(2) 随机相移:假设每个反射元素的相移是从集合θn∈F ={0,Δθ,…,(Lps-1)Δθ}独立随机生成的。那么在交替优化算法中,可以直接跳过步骤5。
(3) Without-IRS:通过设置不使用IRS的系统。
在图4中,比较了RTR算法与CCM算法进行的收敛性能。从图4中可以看出,RTR算法的收敛速度比CCM算法的收敛速度要快得多,并且RTR算法收敛后达到信道容量值比CCM算法的值要大。并且,在表2中比较了RTR算法与CCM算法在图4中达到收敛时对应迭代次数的运行时间。结合第5节中分析了RTR算法与CCM算法的复杂度,已知两者复杂度都较低。可以得出结论,RTR算法具有更快的收敛速度、更短的运行时间和更高的信道容量值,这说明了RTR算法比CCM算法具有更好的优化性能。
图4 RTR算法与CCM算法的收敛性比较
表2 RTR算法与CCM算法的仿真时间
在图5中,可以看到所有方案的信道容量值与IRS上反射元件数量N的关系。可以观察到,随着反射元件数量的增加,相比较于其他3种基准方案,本文提出的算法的性能增益越来越明显。例如,相比较于Without-IRS情况,当N=20时RTR算法的性能增益仅为14.2%,但当N=70时,性能增益提升至43.8%。这主要是因为随着N变大,可以增强在IRS处接收信号功率,从而获得更高的阵列增益;并且通过适当地设计相移,用户接收到的反射信号功率将随着N的增加而增加。因此,所提出的IRS辅助系统不仅可以利用阵列增益,还可以利用IRS处的反射波束成形增益。此外,随着N值的增加,可以注意到所有With-IRS的方案都比Without-IRS方案具有更高的信道容量值,并且由于IRS是无源的,不需要额外的射频链和额外的功耗。因此,可以得出结论,在无线通信系统中部署IRS的有效和可行的。
图5 信道容量与IRS反射原件数量关系
在图6中,比较了所有方案实现的信道容量值与基站到用户分布圆心点(xu,0)之间的水平距离xu的关系。可以观察到,与其他3个基准方案相比,随着xu的增加,即当用户远离BS,越来越靠近IRS时,RTR算法的性能增益也越明显。这是因为用户会从IRS接收到强烈的反射信号,进而可以减轻小区内用户间干扰。
图6 信道容量与用户位置的关系
假定图3中IRS坐标为(xIRS,0)。图7中,比较了IRS的位置从xIRS=20 m到xIRS=100 m对信道容量的影响。可以观察到,当20
图7 信道容量与IRS位置的关系
在图8中绘制了信道容量性能与最大发射功率的关系。从图8可以看出,当最大发射功率太小而无法实际实现时,即如果从BS到用户的发射功率不足以满足用户的速率需求,那么所有方案的性能都对应于非常低的值。然后,随着最大发射功率值的增加,曲线的斜率显然会增加,并且RTR算法的性能依旧是最优异的。因此,可以结合图5和图8的分析得出结论,IRS辅助通信系统应该在IRS的反射元件数量和BS的发射功率之间做出最佳折衷。
图8 信道容量与最大发射功率的关系
如式(5)中所述,权重ωk用于控制用户之间的公平性。假设4个用户的位置分别在图3中坐标为(30,0),(50,0),(70,0)和(90,0)的位置。其中,第1个用户比第2个用户离BS更近,第4个用户比第3个用户离IRS更近。测试了两组权重值:①ωk=0.25,∀k;②ω1=0.15,ω2=0.35,ω3=0.3,ω4=0.2。从图9中可以发现,在权重相同时,用户1的数据速率值最高,这是因为用户1与基站离得最近;用户4的数据速率值比用户1的略低一点,但比其他两个用户都要高,这是因为尽管用户4离BS较远但是离IRS最近,进而使该用户信道增益增加;在权重不等时,为了保证用户之间的公平性,通过给信道增益低的用户分配更高的权重值,使得用户的数据速率分布更平衡。但是,还可从图9中发现,信道容量增益存在损耗,权重相等时,该系统的信道容量约为28.2 bps/Hz;在权重不等时,该系统信道容量约为23.1 bps/Hz。这说明存在最大化信道容量和用户之间的公平性的矛盾。因此,若要使得信道容量与用户之间的公平性达到平衡,在分配权重时尽量在满足各个用户的最低质量要求时,保证达到信道容量最大化。
图9 权重影响
7 结 论
本文针对IRS辅助多用户通信系统中的信道容量最大化问题,首先由于优化变量是高度耦合,所产生的优化问题是一个非凸NP难问题。因此,通过利用基于信道容量与最优解码矩阵的均方误差之间的等价关系,将原问题转换成一个易解决的形式。再利用交替优化算法对预编码器和相移器进行交替优化。为求解在单位模量约束下的相移向量,本文提出使用RTR算法,将单位模量约束条件构成一个CCM并嵌入搜索空间后,使问题变成一个无约束问题再获得局部最优解。数值结果表明,相比于基准算法,RTR算法在保持较低复杂度和快速收敛速度的同时提高了性能。
