基于思维支持的微型数学实验教学*——以“探索直线平行的条件”教学为例

孙朝仁 朱桂凤

美国数学家保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）指出，学习数学的唯一方法是做数学。数学实验是以“做数学”为支架的一种教与学的方式，而基于思维支持的数学实验，则可以将“做”与“思考”深度融合，有助于学生学深、学透、学好数学。

本文以苏科版初中数学七年级下册第7 章“探索直线平行的条件”第1课时的微型数学实验教学为例，利用直观思维、证据思维和变异思维，让学生在拼图、量图、说图的过程中发展数形抽象、数学推理和数学建模能力。

一、拼图：通过直观思维发展数学抽象能力

直观思维就是不经过逐步分析，而迅速对问题的答案作出合理的猜测或设想的一种跃进性思维。具体地说，直观思维包括拼图直观、画图直观、变换直观等思维行为方式，让学生在拼、画、变换中进行知觉概括、知觉登记和知觉抽象，有助于发展学生的数学抽象意识。其中，“剪、拼、画”是直观思维的表现形式，也是发展数学抽象能力的重要载体。数学实验过程中的操作、思考、运用、审美的过程，从某种意义上来说，正是“数学抽象”的过程。［1］

苏科版初中数学教材中设置了《数学实验室》《数学活动》《课题学习》《研究性学习》等特色栏目，其中安排了大量的拼图问题。这些都是直观思维运行的有效载体，将数学实验中的“做”与“思考”有机融合，不仅让学生经历数学家发现数学结论的过程，而且在潜移默化中培养学生的数学素养。

从具身学习理论来说，“拼图”本身就是一种知觉学习，有助于感性经验的获得，能促进直观思维的发展，并助推“感性经验”上升为“理性思维”，进而促进数学抽象能力的发展。一般来说，在义务教育阶段，学生的抽象思维尚未成熟，知识的获得需要借助直观形象的转化。这个阶段学生的数学抽象能力主要是通过知觉学习的方式来获得的，而直观思维的运行可以帮助学生有效树立求实、求证、求是的意识。生活情境的铺设、用数学的眼光观察世界以及动手“做”数学，都是基于学生的已有经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。为此，基于直观思维支持的数学实验教学需要做好三个方面的工作：一是让学生在操作中认识概念，促进“具体”向“抽象”转化；二是让学生在观察中抽象表征，促进“经验”向“方法”转化；三是让学生在思考中获得概念理解，促进“概念”向“运用”转化。

以“探索直线平行的条件”概念的起始教学环节为例，教师可以让学生在直观思维的引导下，逐步发展数学抽象能力，进而培养其拼图意识。具体实施过程如下。

首先，让学生调用EN5（希沃白板）信息资源“尺规命令”，用4个直角三角板拼成一个大三角形。（见图1）

其次，让学生在拼图的过程中感知“如果同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么两条直线平行”的存在性事实。

（图1）

最后，让学生在观察、概括、反问、反思的基础上，画出“a、b两条直线被第三条直线c所截”的状态图。（见图2、图3）

（图2）

（图3）

在此基础上，引导学生深入探究下列两个问题：（1）指出图2、图3 中的同位角，你有什么发现？（2）∠2 与∠3，∠2 与∠4 是同位角吗？它们分别有怎样的位置特征？

图1体现的是信息技术支持下的直观思维，这种源于课本但高于教材的教学设计，是学生理解概念本源的支持条件。如果说拼图是一种直观思维，那么拼图的过程就是从具体到抽象的过程；如果说拼图活动是一种落笔有据的直观活动，那么画出图2和图3就是对图形的抽象与分类思想的复合运用，有助于概念对象的获得；如果说“拼图—分析”是一种数学抽象，那么对概念对象、基本事实的描述就是一种“落笔有据”。

二、量图：通过证据思维发展数学推理能力

证据思维的概念源于法律领域，它不仅贯穿证据收集、固定、审查、运用、认定等每一个环节，在每个阶段还有其独立的呈现方式。应用于教育领域中，证据思维是一种求是、求证的复合思维，为问题解决提供思考路径，促进学生逻辑推理能力的发展。从数学的角度来说，证据思维是一种事实思维、合情思维，是数学实验教学的支持条件。具体地说，证据思维有助于学生将“是什么”转化为“为什么”，有助于学生“落笔有据”能力的发展，是以测量数学、观察数学、猜想数学、验证数学为支架的证实、证伪方式，具有不可替代性。

数学课堂教学中的观察、画图、估测、度量、猜想、验证以及算图、发现、变式等，都是证据思维的常见表现。在数学实验教学中，证据思维往往表现为量图算理，其意义至少涵盖以下两个方面：一方面是指通过度量的方式获得落笔有据的数据；另一方面是指基于算理进行合情推理，将合情推理上升为演绎推理，促进落笔有据意识的形成。这就要求教师关注教材的统整设计与优化使用，促使学生进行动脑和变式。为此，教师应精心设计教学，“增强课程连贯性、优化教材使用、变式教学、开发‘动脑筋’栏目、发展学生对数字事实的熟练程度”［2］。

以“探索直线平行的条件”概念形成的教学环节为例，教师应通过证据思维，在“目标——动作机制”的作用下，促进学生数学推理能力的进一步发展。具体实验操作过程如下。

首先，让学生在操作图4的基础上，思考以下问题：（1）如图4，∠1、∠2、∠3有怎样的数量关系？∠4、∠5、∠6呢？（2）直线a、b、c有怎样的位置关系？

其次，追问以下问题：（1）在图5中，∠1=∠C、∠2=∠C，指出图中的平行直线，并说明理由；（2）图5中哪些角相等可得AB//CD？为什么？

（图4）

（图5）

最后，让学生分析研究图4 与图5 的关系，实现概念回归，揭示变式教学、优化教材以及解决问题的关系，使学生的理解从“工具性理解”上升到“关系性理解”，提高学生“言之成理，落笔有据”的能力。

这样的教学设计，旨在让学生经历直观“量图”的过程，理解“基本事实”的客观存在性，体验“测量、验证”（求是、求证）的数学价值。图4的设计与操作是一种生动的证据思维（回归学生的知觉认知水平）的过程，改编课本基本问题，使“封闭型思维”转化为“半开放思维”，为落笔有据提供思考空间。图5 的变式改编则是一种落笔有据的抽象，其中，问题（1）是一种“量图”（考量概念的使用）的过程，问题（2）则强化落笔有据意识，为发展学生的分析思维和推理能力作铺垫。

三、说图：通过变异思维发展数学建模能力

变异思维是指以原实物、原现象或原状态等存在方式的触媒作为灵感引发的外部诱因，通过变化模仿的方式，经过对各种信息与知识的匹配、重组、变换，创造出有价值的新事物的思维操作方式，是偏离已经存在的事物的形态、结构、功能等方面的思维方式。换言之，变异思维是比数学思维更为“强劲”的理性思维，带有强烈的变量特征和变化属性，是将感性的“做”变为理性的“说”的思维“催化剂”，是将“数学地看”“数学地说”变为数学建模的思维“桥梁”。

“说图”能够很好地培养学生的数学表达能力，尤其是落笔有据的表达水平，进而促进学生学好数学。在数学实验的范畴，“说图”就是对照图形分析提取信息，以及将未知转化为已知的条件及其条件体系。一般情况下，“说图”至少涵盖以下两个方面的问题：一是分析图形，将未知转化为已知，为言之成理、落笔有据铺设思维基础；二是通过“无序地说—有序地说”构造一类数学模型，如基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”。在说图过程中，需要做好三个方面的工作：一是抓住题干信息，提取已知信息，确定条件关系；二是挖掘未知信息以及图形隐含条件，明确待证结论以及使得结论成立的隐含条件；三是注重推理过程，旨在强化学生“言之成理，落笔有据”的意识。

以“探索直线平行的条件”概念的关联教学环节为例，利用变异思维，能够促进数学建模走向深刻。具体实施过程如下。

首先，呈现图6，让学生在系统概念图的基础上把握概念的本质。具体实验序列组块：（1）图6 中∠1 与∠C、∠2 与∠D、∠3 与∠D分别是哪两条直线被哪一条直线截成的同位角？（2）∠1与∠2、∠3与∠4呢？让学生在辨别的基础上，对概念理解走向深刻，落实关系性理解。

其次，呈现图7。已知∠AOE=130°，∠C=50°。AB与CD平行吗？为什么？让学生从不同角度、不同侧面把握直线平行的条件。

（图6）

（图7）

最后，引导学生分析问题、解决问题，从不同角度、不同层面进行思考，强化数学实验的关联功能以及分类、转化、迁移等形而上的思想方法。

这样的教学有助于学生在纷繁复杂的现象变化中揭示数学对象的本质，理解概念是什么、为什么和怎么样的内部关系的一致性。也就是说，落笔有据本身就是一种深层次的变异思维，是数学实验从“感性思维”变为“理性思维”的驱动器，体现了数学实验的育人功能。

微型数学实验课意味着“少而精”。“少”是耗时少、内容少、无效劳动少；“精”是聚焦重点、突破难点。同时，微型数学实验课属于“在实践中和向实践学习”（learning in and from practice）的辅助课，是基于直观思维、证据思维、变异思维支持的教学探究课，有助于学生学会学习和学会创造。